Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56077 / 44313
↖ ↑ ↗
← N 50.245448°
W 25.979919°		 ← 195.28 m → N 50.245448°
W 25.977173°		 →
↑
195.33 m
↓
↑
195.33 m
↓
N 50.243692°
W 25.979919°		 ← 195.29 m →
38 146 m²		 N 50.243692°
W 25.977173°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56077 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44313 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427837371826172 y=0.338085174560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427837371826172 × 217)
    floor (0.427837371826172 × 131072)
    floor (56077.5)     		tx = 56077
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.338085174560547 × 217)
    floor (0.338085174560547 × 131072)
    floor (44313.5)     		ty = 44313
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56077 / 44313 ti = "17/56077/44313"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56077/44313.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56077 ÷ 217
    56077 ÷ 131072     		x = 0.427833557128906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44313 ÷ 217
    44313 ÷ 131072     		y = 0.338081359863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427833557128906 × 2 - 1) × π
    -0.144332885742188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45343513
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.338081359863281 × 2 - 1) × π
    0.323837280273438 × 3.1415926535     		Φ = 1.01736482063645
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45343513} λ = -0.45343513}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01736482063645))-π/2
    2×atan(2.76589651866725)-π/2
    2×1.22387241857189-π/2
    2.44774483714378-1.57079632675     		φ = 0.87694851
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45343513} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.979919°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87694851 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.245448°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56077 KachelY 44313 -0.45343513 0.87694851 -25.979919 50.245448
    Oben rechts KachelX + 1 56078 KachelY 44313 -0.45338720 0.87694851 -25.977173 50.245448
    Unten links KachelX 56077 KachelY + 1 44314 -0.45343513 0.87691785 -25.979919 50.243692
    Unten rechts KachelX + 1 56078 KachelY + 1 44314 -0.45338720 0.87691785 -25.977173 50.243692
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87694851-0.87691785) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dl = 195.334859999746m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87694851-0.87691785) × R
    3.06599999999602e-05 × 6371000     		dr = 195.334859999746m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45343513--0.45338720) × cos(0.87694851) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.639500076086963 × 6371000     		do = 195.279041419189m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45343513--0.45338720) × cos(0.87691785) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63952364691946 × 6371000     		du = 195.286239056449m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87694851)-sin(0.87691785))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.639500076086963-0.63952364691946)×R²
    abs(-0.45338720--0.45343513)×2.3570832496933e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3570832496933e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3570832496933e-05×40589641000000     		ar = 38145.5071940861m²