Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56076 / 44486
↖ ↑ ↗
← N 49.940615°
W 25.982666°		 ← 196.57 m → N 49.940615°
W 25.979919°		 →
↑
196.61 m
↓
↑
196.61 m
↓
N 49.938847°
W 25.982666°		 ← 196.57 m →
38 647 m²		 N 49.938847°
W 25.979919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44486 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427829742431641 y=0.339405059814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427829742431641 × 217)
    floor (0.427829742431641 × 131072)
    floor (56076.5)     		tx = 56076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.339405059814453 × 217)
    floor (0.339405059814453 × 131072)
    floor (44486.5)     		ty = 44486
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56076 / 44486 ti = "17/56076/44486"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56076/44486.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56076 ÷ 217
    56076 ÷ 131072     		x = 0.427825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44486 ÷ 217
    44486 ÷ 131072     		y = 0.339401245117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.339401245117188 × 2 - 1) × π
    0.321197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 1.00907173700218
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45348307} λ = -0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.00907173700218))-π/2
    2×atan(2.743053557726)-π/2
    2×1.22121224610448-π/2
    2.44242449220896-1.57079632675     		φ = 0.87162817
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87162817 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 49.940615°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56076 KachelY 44486 -0.45348307 0.87162817 -25.982666 49.940615
    Oben rechts KachelX + 1 56077 KachelY 44486 -0.45343513 0.87162817 -25.979919 49.940615
    Unten links KachelX 56076 KachelY + 1 44487 -0.45348307 0.87159731 -25.982666 49.938847
    Unten rechts KachelX + 1 56077 KachelY + 1 44487 -0.45343513 0.87159731 -25.979919 49.938847
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87162817-0.87159731) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dl = 196.60906000049m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87162817-0.87159731) × R
    3.08600000000769e-05 × 6371000     		dr = 196.60906000049m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45348307--0.45343513) × cos(0.87162817) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64358123564717 × 6371000     		do = 196.566275147522m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45348307--0.45343513) × cos(0.87159731) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.64360485489995 × 6371000     		du = 196.573489075281m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87162817)-sin(0.87159731))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.64358123564717-0.64360485489995)×R²
    abs(-0.45343513--0.45348307)×2.36192527808265e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.36192527808265e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.36192527808265e-05×40589641000000     		ar = 38647.4197493887m²