Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56076 / 13540
↖ ↑ ↗
← N 80.544713°
W 25.982666°		 ← 50.17 m → N 80.544713°
W 25.979919°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.544262°
W 25.982666°		 ← 50.18 m →
2 519 m²		 N 80.544262°
W 25.979919°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56076 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13540 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427829742431641 y=0.103305816650391 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427829742431641 × 217)
    floor (0.427829742431641 × 131072)
    floor (56076.5)     		tx = 56076
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103305816650391 × 217)
    floor (0.103305816650391 × 131072)
    floor (13540.5)     		ty = 13540
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56076 / 13540 ti = "17/56076/13540"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56076/13540.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56076 ÷ 217
    56076 ÷ 131072     		x = 0.427825927734375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13540 ÷ 217
    13540 ÷ 131072     		y = 0.103302001953125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427825927734375 × 2 - 1) × π
    -0.14434814453125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45348307
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103302001953125 × 2 - 1) × π
    0.79339599609375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49252703264444
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45348307} λ = -0.45348307}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49252703264444))-π/2
    2×atan(12.09179390241)-π/2
    2×1.48828338327773-π/2
    2.97656676655545-1.57079632675     		φ = 1.40577044
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45348307} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.982666°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40577044 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.544713°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56076 KachelY 13540 -0.45348307 1.40577044 -25.982666 80.544713
    Oben rechts KachelX + 1 56077 KachelY 13540 -0.45343513 1.40577044 -25.979919 80.544713
    Unten links KachelX 56076 KachelY + 1 13541 -0.45348307 1.40576256 -25.982666 80.544262
    Unten rechts KachelX + 1 56077 KachelY + 1 13541 -0.45343513 1.40576256 -25.979919 80.544262
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40577044-1.40576256) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dl = 50.2034799990387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40577044-1.40576256) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dr = 50.2034799990387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45348307--0.45343513) × cos(1.40577044) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16427786614509 × 6371000     		do = 50.1746888329523m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45348307--0.45343513) × cos(1.40576256) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164285639083122 × 6371000     		du = 50.1770628883025m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40577044)-sin(1.40576256))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.16427786614509-0.164285639083122)×R²
    abs(-0.45343513--0.45348307)×7.7729380314473e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.7729380314473e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.7729380314473e-06×40589641000000     		ar = 2519.00358022104m²