Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56074 / 13548
↖ ↑ ↗
← N 80.541103°
W 25.988159°		 ← 50.18 m → N 80.541103°
W 25.985413°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.540651°
W 25.988159°		 ← 50.19 m →
2 519 m²		 N 80.540651°
W 25.985413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13548 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427814483642578 y=0.103366851806641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427814483642578 × 217)
    floor (0.427814483642578 × 131072)
    floor (56074.5)     		tx = 56074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103366851806641 × 217)
    floor (0.103366851806641 × 131072)
    floor (13548.5)     		ty = 13548
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56074 / 13548 ti = "17/56074/13548"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56074/13548.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56074 ÷ 217
    56074 ÷ 131072     		x = 0.427810668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13548 ÷ 217
    13548 ÷ 131072     		y = 0.103363037109375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427810668945312 × 2 - 1) × π
    -0.144378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45357894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103363037109375 × 2 - 1) × π
    0.79327392578125 × 3.1415926535     		Φ = 2.49214353744748
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45357894} λ = -0.45357894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49214353744748))-π/2
    2×atan(12.0871576465736)-π/2
    2×1.48825187743267-π/2
    2.97650375486533-1.57079632675     		φ = 1.40570743
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45357894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40570743 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.541103°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56074 KachelY 13548 -0.45357894 1.40570743 -25.988159 80.541103
    Oben rechts KachelX + 1 56075 KachelY 13548 -0.45353101 1.40570743 -25.985413 80.541103
    Unten links KachelX 56074 KachelY + 1 13549 -0.45357894 1.40569955 -25.988159 80.540651
    Unten rechts KachelX + 1 56075 KachelY + 1 13549 -0.45353101 1.40569955 -25.985413 80.540651
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40570743-1.40569955) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40570743-1.40569955) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45357894--0.45353101) × cos(1.40570743) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164340019771569 × 6371000     		do = 50.1832020476591m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45357894--0.45353101) × cos(1.40569955) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164347792628017 × 6371000     		du = 50.1855755828828m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40570743)-sin(1.40569955))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164340019771569-0.164347792628017)×R²
    abs(-0.45353101--0.45357894)×7.77285644723569e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.77285644723569e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.77285644723569e-06×40589641000000     		ar = 2519.43096032523m²