Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56074 / 13546
↖ ↑ ↗
← N 80.542005°
W 25.988159°		 ← 50.18 m → N 80.542005°
W 25.985413°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.541554°
W 25.988159°		 ← 50.18 m →
2 516 m²		 N 80.541554°
W 25.985413°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56074 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13546 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427814483642578 y=0.103351593017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427814483642578 × 217)
    floor (0.427814483642578 × 131072)
    floor (56074.5)     		tx = 56074
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103351593017578 × 217)
    floor (0.103351593017578 × 131072)
    floor (13546.5)     		ty = 13546
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56074 / 13546 ti = "17/56074/13546"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56074/13546.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56074 ÷ 217
    56074 ÷ 131072     		x = 0.427810668945312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13546 ÷ 217
    13546 ÷ 131072     		y = 0.103347778320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427810668945312 × 2 - 1) × π
    -0.144378662109375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45357894
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103347778320312 × 2 - 1) × π
    0.793304443359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.49223941124672
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45357894} λ = -0.45357894}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.49223941124672))-π/2
    2×atan(12.0883165438522)-π/2
    2×1.48825975501129-π/2
    2.97651951002258-1.57079632675     		φ = 1.40572318
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45357894} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.988159°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40572318 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.542005°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56074 KachelY 13546 -0.45357894 1.40572318 -25.988159 80.542005
    Oben rechts KachelX + 1 56075 KachelY 13546 -0.45353101 1.40572318 -25.985413 80.542005
    Unten links KachelX 56074 KachelY + 1 13547 -0.45357894 1.40571531 -25.988159 80.541554
    Unten rechts KachelX + 1 56075 KachelY + 1 13547 -0.45353101 1.40571531 -25.985413 80.541554
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40572318-1.40571531) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dl = 50.1397700008406m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40572318-1.40571531) × R
    7.87000000013194e-06 × 6371000     		dr = 50.1397700008406m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45357894--0.45353101) × cos(1.40572318) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164324483892125 × 6371000     		do = 50.1784579799742m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45357894--0.45353101) × cos(1.40571531) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.164332246904918 × 6371000     		du = 50.1808285093195m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40572318)-sin(1.40571531))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164324483892125-0.164332246904918)×R²
    abs(-0.45353101--0.45357894)×7.76301279262204e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.76301279262204e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.76301279262204e-06×40589641000000     		ar = 2515.99577121544m²