Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56073 / 13547
↖ ↑ ↗
← N 80.541554°
W 25.990906°		 ← 50.19 m → N 80.541554°
W 25.988159°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.541103°
W 25.990906°		 ← 50.19 m →
2 520 m²		 N 80.541103°
W 25.988159°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56073 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13547 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427806854248047 y=0.103359222412109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427806854248047 × 217)
    floor (0.427806854248047 × 131072)
    floor (56073.5)     		tx = 56073
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103359222412109 × 217)
    floor (0.103359222412109 × 131072)
    floor (13547.5)     		ty = 13547
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56073 / 13547 ti = "17/56073/13547"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56073/13547.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56073 ÷ 217
    56073 ÷ 131072     		x = 0.427803039550781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13547 ÷ 217
    13547 ÷ 131072     		y = 0.103355407714844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427803039550781 × 2 - 1) × π
    -0.144393920898438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45362688
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103355407714844 × 2 - 1) × π
    0.793289184570312 × 3.1415926535     		Φ = 2.4921914743471
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45362688} λ = -0.45362688}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4921914743471))-π/2
    2×atan(12.0877370813244)-π/2
    2×1.4882558163151-π/2
    2.9765116326302-1.57079632675     		φ = 1.40571531
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45362688} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.990906°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40571531 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.541554°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56073 KachelY 13547 -0.45362688 1.40571531 -25.990906 80.541554
    Oben rechts KachelX + 1 56074 KachelY 13547 -0.45357894 1.40571531 -25.988159 80.541554
    Unten links KachelX 56073 KachelY + 1 13548 -0.45362688 1.40570743 -25.990906 80.541103
    Unten rechts KachelX + 1 56074 KachelY + 1 13548 -0.45357894 1.40570743 -25.988159 80.541103
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40571531-1.40570743) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dl = 50.2034799990387m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40571531-1.40570743) × R
    7.87999999984912e-06 × 6371000     		dr = 50.2034799990387m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45362688--0.45357894) × cos(1.40571531) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164332246904918 × 6371000     		do = 50.1912981168224m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45362688--0.45357894) × cos(1.40570743) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164340019771569 × 6371000     		du = 50.1936721503714m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40571531)-sin(1.40570743))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164332246904918-0.164340019771569)×R²
    abs(-0.45357894--0.45362688)×7.77286665162857e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.77286665162857e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.77286665162857e-06×40589641000000     		ar = 2519.8374233124m²