Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56070 / 43861
↖ ↑ ↗
← N 51.032758°
W 25.999145°		 ← 192.07 m → N 51.032758°
W 25.996399°		 →
↑
192.09 m
↓
↑
192.09 m
↓
N 51.031031°
W 25.999145°		 ← 192.08 m →
36 896 m²		 N 51.031031°
W 25.996399°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56070 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427783966064453 y=0.334636688232422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427783966064453 × 217)
    floor (0.427783966064453 × 131072)
    floor (56070.5)     		tx = 56070
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334636688232422 × 217)
    floor (0.334636688232422 × 131072)
    floor (43861.5)     		ty = 43861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56070 / 43861 ti = "17/56070/43861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56070/43861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56070 ÷ 217
    56070 ÷ 131072     		x = 0.427780151367188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43861 ÷ 217
    43861 ÷ 131072     		y = 0.334632873535156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427780151367188 × 2 - 1) × π
    -0.144439697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45377069
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334632873535156 × 2 - 1) × π
    0.330734252929688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03903229926472
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45377069} λ = -0.45377069}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03903229926472))-π/2
    2×atan(2.82648050324195)-π/2
    2×1.23074299366566-π/2
    2.46148598733133-1.57079632675     		φ = 0.89068966
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45377069} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -25.999145°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89068966 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.032758°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56070 KachelY 43861 -0.45377069 0.89068966 -25.999145 51.032758
    Oben rechts KachelX + 1 56071 KachelY 43861 -0.45372275 0.89068966 -25.996399 51.032758
    Unten links KachelX 56070 KachelY + 1 43862 -0.45377069 0.89065951 -25.999145 51.031031
    Unten rechts KachelX + 1 56071 KachelY + 1 43862 -0.45372275 0.89065951 -25.996399 51.031031
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89068966-0.89065951) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dl = 192.085650000395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89068966-0.89065951) × R
    3.01500000000621e-05 × 6371000     		dr = 192.085650000395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45377069--0.45372275) × cos(0.89068966) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628875961630877 × 6371000     		do = 192.074905949196m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45377069--0.45372275) × cos(0.89065951) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.628899403140179 × 6371000     		du = 192.082065589521m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89068966)-sin(0.89065951))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628875961630877-0.628899403140179)×R²
    abs(-0.45372275--0.45377069)×2.34415093015583e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34415093015583e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34415093015583e-05×40589641000000     		ar = 36895.520792923m²