Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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14 / 5607 / 11865
↖ ↑ ↗
← S 62.522458°
W 56.799316°		 ← 1 127.30 m → S 62.522458°
W 56.777344°		 →
↑
1 127.09 m
↓
↑
1 127.09 m
↓
S 62.532594°
W 56.799316°		 ← 1 126.92 m →
1 270 358 m²		 S 62.532594°
W 56.777344°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 14 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5607 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11865 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.342254638671875 y=0.724212646484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=14 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.342254638671875 × 214)
    floor (0.342254638671875 × 16384)
    floor (5607.5)     		tx = 5607
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.724212646484375 × 214)
    floor (0.724212646484375 × 16384)
    floor (11865.5)     		ty = 11865
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 14 / 5607 / 11865 ti = "14/5607/11865"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/14/5607/11865.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5607 ÷ 214
    5607 ÷ 16384     		x = 0.34222412109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11865 ÷ 214
    11865 ÷ 16384     		y = 0.72418212890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.34222412109375 × 2 - 1) × π
    -0.3155517578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.99133508
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.72418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.4483642578125 × 3.1415926535     		Φ = -1.40857785843573
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.99133508} λ = -0.99133508}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.40857785843573))-π/2
    2×atan(0.244490736469388)-π/2
    2×0.239786790300797-π/2
    0.479573580601594-1.57079632675     		φ = -1.09122275
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.99133508} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -56.799316°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -1.09122275 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -62.522458°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5607 KachelY 11865 -0.99133508 -1.09122275 -56.799316 -62.522458
    Oben rechts KachelX + 1 5608 KachelY 11865 -0.99095159 -1.09122275 -56.777344 -62.522458
    Unten links KachelX 5607 KachelY + 1 11866 -0.99133508 -1.09139966 -56.799316 -62.532594
    Unten rechts KachelX + 1 5608 KachelY + 1 11866 -0.99095159 -1.09139966 -56.777344 -62.532594
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-1.09122275--1.09139966) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dl = 1127.09360999984m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-1.09122275--1.09139966) × R
    0.000176909999999975 × 6371000     		dr = 1127.09360999984m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.99133508--0.99095159) × cos(-1.09122275) × R
    0.000383490000000042 × 0.461400898350852 × 6371000     		do = 1127.30149897021m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.99133508--0.99095159) × cos(-1.09139966) × R
    0.000383490000000042 × 0.461243938037942 × 6371000     		du = 1126.91801121227m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-1.09122275)-sin(-1.09139966))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.461400898350852-0.461243938037942)×R²
    abs(-0.99095159--0.99133508)×0.000156960312910293×R²
    0.000383490000000042×0.000156960312910293×6371000²
    0.000383490000000042×0.000156960312910293×40589641000000     		ar = 1270358.20604438m²