Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56069 / 43845
↖ ↑ ↗
← N 51.060386°
W 26.001892°		 ← 191.96 m → N 51.060386°
W 25.999145°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.058660°
W 26.001892°		 ← 191.97 m →
36 849 m²		 N 51.058660°
W 25.999145°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56069 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43845 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427776336669922 y=0.334514617919922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427776336669922 × 217)
    floor (0.427776336669922 × 131072)
    floor (56069.5)     		tx = 56069
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334514617919922 × 217)
    floor (0.334514617919922 × 131072)
    floor (43845.5)     		ty = 43845
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56069 / 43845 ti = "17/56069/43845"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56069/43845.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56069 ÷ 217
    56069 ÷ 131072     		x = 0.427772521972656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43845 ÷ 217
    43845 ÷ 131072     		y = 0.334510803222656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427772521972656 × 2 - 1) × π
    -0.144454956054688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45381863
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334510803222656 × 2 - 1) × π
    0.330978393554688 × 3.1415926535     		Φ = 1.03979928965864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45381863} λ = -0.45381863}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03979928965864))-π/2
    2×atan(2.82864921822201)-π/2
    2×1.23098409267137-π/2
    2.46196818534274-1.57079632675     		φ = 0.89117186
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45381863} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.001892°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89117186 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.060386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56069 KachelY 43845 -0.45381863 0.89117186 -26.001892 51.060386
    Oben rechts KachelX + 1 56070 KachelY 43845 -0.45377069 0.89117186 -25.999145 51.060386
    Unten links KachelX 56069 KachelY + 1 43846 -0.45381863 0.89114173 -26.001892 51.058660
    Unten rechts KachelX + 1 56070 KachelY + 1 43846 -0.45377069 0.89114173 -25.999145 51.058660
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89117186-0.89114173) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dl = 191.958230000463m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89117186-0.89114173) × R
    3.01300000000726e-05 × 6371000     		dr = 191.958230000463m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45381863--0.45377069) × cos(0.89117186) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628500975312232 × 6371000     		do = 191.960375475556m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45381863--0.45377069) × cos(0.89114173) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.628524410405987 × 6371000     		du = 191.967533156409m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89117186)-sin(0.89114173))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628500975312232-0.628524410405987)×R²
    abs(-0.45377069--0.45381863)×2.34350937554639e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34350937554639e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34350937554639e-05×40589641000000     		ar = 36849.0608972981m²