Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56068 / 15106
↖ ↑ ↗
← N 79.811331°
W 26.004639°		 ← 54.03 m → N 79.811331°
W 26.001892°		 →
↑
54.03 m
↓
↑
54.03 m
↓
N 79.810845°
W 26.004639°		 ← 54.03 m →
2 919 m²		 N 79.810845°
W 26.001892°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56068 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15106 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427768707275391 y=0.115253448486328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427768707275391 × 217)
    floor (0.427768707275391 × 131072)
    floor (56068.5)     		tx = 56068
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115253448486328 × 217)
    floor (0.115253448486328 × 131072)
    floor (15106.5)     		ty = 15106
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56068 / 15106 ti = "17/56068/15106"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56068/15106.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56068 ÷ 217
    56068 ÷ 131072     		x = 0.427764892578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15106 ÷ 217
    15106 ÷ 131072     		y = 0.115249633789062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427764892578125 × 2 - 1) × π
    -0.14447021484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45386657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115249633789062 × 2 - 1) × π
    0.769500732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.41745784783943
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45386657} λ = -0.45386657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41745784783943))-π/2
    2×atan(11.2173069369484)-π/2
    2×1.48188341329367-π/2
    2.96376682658734-1.57079632675     		φ = 1.39297050
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45386657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.004639°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39297050 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.811331°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56068 KachelY 15106 -0.45386657 1.39297050 -26.004639 79.811331
    Oben rechts KachelX + 1 56069 KachelY 15106 -0.45381863 1.39297050 -26.001892 79.811331
    Unten links KachelX 56068 KachelY + 1 15107 -0.45386657 1.39296202 -26.004639 79.810845
    Unten rechts KachelX + 1 56069 KachelY + 1 15107 -0.45381863 1.39296202 -26.001892 79.810845
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39297050-1.39296202) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dl = 54.026079999856m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39297050-1.39296202) × R
    8.47999999997739e-06 × 6371000     		dr = 54.026079999856m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45386657--0.45381863) × cos(1.39297050) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.176890105377339 × 6371000     		do = 54.026791333579m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45386657--0.45381863) × cos(1.39296202) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.176898451646539 × 6371000     		du = 54.0293404990254m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39297050)-sin(1.39296202))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176890105377339-0.176898451646539)×R²
    abs(-0.45381863--0.45386657)×8.34626919946069e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.34626919946069e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.34626919946069e-06×40589641000000     		ar = 2918.92461140395m²