Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56066 / 13562
↖ ↑ ↗
← N 80.534782°
W 26.010132°		 ← 50.23 m → N 80.534782°
W 26.007385°		 →
↑
50.20 m
↓
↑
50.20 m
↓
N 80.534330°
W 26.010132°		 ← 50.23 m →
2 522 m²		 N 80.534330°
W 26.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13562 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427753448486328 y=0.103473663330078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427753448486328 × 217)
    floor (0.427753448486328 × 131072)
    floor (56066.5)     		tx = 56066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103473663330078 × 217)
    floor (0.103473663330078 × 131072)
    floor (13562.5)     		ty = 13562
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56066 / 13562 ti = "17/56066/13562"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56066/13562.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56066 ÷ 217
    56066 ÷ 131072     		x = 0.427749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13562 ÷ 217
    13562 ÷ 131072     		y = 0.103469848632812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.144500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45396244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103469848632812 × 2 - 1) × π
    0.793060302734375 × 3.1415926535     		Φ = 2.4914724208528
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45396244} λ = -0.45396244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4914724208528))-π/2
    2×atan(12.0790484758983)-π/2
    2×1.4881967135179-π/2
    2.9763934270358-1.57079632675     		φ = 1.40559710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45396244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40559710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.534782°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56066 KachelY 13562 -0.45396244 1.40559710 -26.010132 80.534782
    Oben rechts KachelX + 1 56067 KachelY 13562 -0.45391450 1.40559710 -26.007385 80.534782
    Unten links KachelX 56066 KachelY + 1 13563 -0.45396244 1.40558922 -26.010132 80.534330
    Unten rechts KachelX + 1 56067 KachelY + 1 13563 -0.45391450 1.40558922 -26.007385 80.534330
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40559710-1.40558922) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dl = 50.2034800004534m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40559710-1.40558922) × R
    7.88000000007116e-06 × 6371000     		dr = 50.2034800004534m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45396244--0.45391450) × cos(1.40559710) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164448848696848 × 6371000     		do = 50.2269113054081m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45396244--0.45391450) × cos(1.40558922) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164456621410367 × 6371000     		du = 50.2292852921865m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40559710)-sin(1.40558922))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164448848696848-0.164456621410367)×R²
    abs(-0.45391450--0.45396244)×7.77271351928843e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.77271351928843e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.77271351928843e-06×40589641000000     		ar = 2521.62532825079m²