Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56066 / 13522
↖ ↑ ↗
← N 80.552831°
W 26.010132°		 ← 50.13 m → N 80.552831°
W 26.007385°		 →
↑
50.14 m
↓
↑
50.14 m
↓
N 80.552380°
W 26.010132°		 ← 50.13 m →
2 514 m²		 N 80.552380°
W 26.007385°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56066 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13522 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427753448486328 y=0.103168487548828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427753448486328 × 217)
    floor (0.427753448486328 × 131072)
    floor (56066.5)     		tx = 56066
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103168487548828 × 217)
    floor (0.103168487548828 × 131072)
    floor (13522.5)     		ty = 13522
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56066 / 13522 ti = "17/56066/13522"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56066/13522.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56066 ÷ 217
    56066 ÷ 131072     		x = 0.427749633789062
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13522 ÷ 217
    13522 ÷ 131072     		y = 0.103164672851562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427749633789062 × 2 - 1) × π
    -0.144500732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45396244
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103164672851562 × 2 - 1) × π
    0.793670654296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.4933898968376
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45396244} λ = -0.45396244}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4933898968376))-π/2
    2×atan(12.102231981074)-π/2
    2×1.48835422786814-π/2
    2.97670845573629-1.57079632675     		φ = 1.40591213
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45396244} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.010132°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40591213 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.552831°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56066 KachelY 13522 -0.45396244 1.40591213 -26.010132 80.552831
    Oben rechts KachelX + 1 56067 KachelY 13522 -0.45391450 1.40591213 -26.007385 80.552831
    Unten links KachelX 56066 KachelY + 1 13523 -0.45396244 1.40590426 -26.010132 80.552380
    Unten rechts KachelX + 1 56067 KachelY + 1 13523 -0.45391450 1.40590426 -26.007385 80.552380
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40591213-1.40590426) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dl = 50.1397699994259m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40591213-1.40590426) × R
    7.86999999990989e-06 × 6371000     		dr = 50.1397699994259m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45396244--0.45391450) × cos(1.40591213) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164138099482271 × 6371000     		do = 50.1320004965915m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45396244--0.45391450) × cos(1.40590426) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.164145862739287 × 6371000     		du = 50.1343715951104m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40591213)-sin(1.40590426))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164138099482271-0.164145862739287)×R²
    abs(-0.45391450--0.45396244)×7.76325701612457e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.76325701612457e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.76325701612457e-06×40589641000000     		ar = 2513.66641779896m²