Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56061 / 43829
↖ ↑ ↗
← N 51.087998°
W 26.023865°		 ← 191.81 m → N 51.087998°
W 26.021118°		 →
↑
191.83 m
↓
↑
191.83 m
↓
N 51.086273°
W 26.023865°		 ← 191.81 m →
36 795 m²		 N 51.086273°
W 26.021118°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56061 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43829 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427715301513672 y=0.334392547607422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427715301513672 × 217)
    floor (0.427715301513672 × 131072)
    floor (56061.5)     		tx = 56061
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334392547607422 × 217)
    floor (0.334392547607422 × 131072)
    floor (43829.5)     		ty = 43829
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56061 / 43829 ti = "17/56061/43829"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56061/43829.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56061 ÷ 217
    56061 ÷ 131072     		x = 0.427711486816406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43829 ÷ 217
    43829 ÷ 131072     		y = 0.334388732910156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427711486816406 × 2 - 1) × π
    -0.144577026367188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45420212
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334388732910156 × 2 - 1) × π
    0.331222534179688 × 3.1415926535     		Φ = 1.04056628005256
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45420212} λ = -0.45420212}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04056628005256))-π/2
    2×atan(2.83081959722368)-π/2
    2×1.23122504788709-π/2
    2.46245009577418-1.57079632675     		φ = 0.89165377
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45420212} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.023865°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89165377 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.087998°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56061 KachelY 43829 -0.45420212 0.89165377 -26.023865 51.087998
    Oben rechts KachelX + 1 56062 KachelY 43829 -0.45415419 0.89165377 -26.021118 51.087998
    Unten links KachelX 56061 KachelY + 1 43830 -0.45420212 0.89162366 -26.023865 51.086273
    Unten rechts KachelX + 1 56062 KachelY + 1 43830 -0.45415419 0.89162366 -26.021118 51.086273
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89165377-0.89162366) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dl = 191.830809999822m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89165377-0.89162366) × R
    3.01099999999721e-05 × 6371000     		dr = 191.830809999822m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45420212--0.45415419) × cos(0.89165377) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628126068508915 × 6371000     		do = 191.805851375697m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45420212--0.45415419) × cos(0.89162366) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.628149497164067 × 6371000     		du = 191.813005597394m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89165377)-sin(0.89162366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628126068508915-0.628149497164067)×R²
    abs(-0.45415419--0.45420212)×2.34286551522578e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34286551522578e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34286551522578e-05×40589641000000     		ar = 36794.9580348411m²