Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56060 / 87049
↖ ↑ ↗
← S 50.752097°
W 26.026611°		 ← 193.24 m → S 50.752097°
W 26.023865°		 →
↑
193.17 m
↓
↑
193.17 m
↓
S 50.753834°
W 26.026611°		 ← 193.23 m →
37 326 m²		 S 50.753834°
W 26.023865°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56060 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 87049 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427707672119141 y=0.664134979248047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427707672119141 × 217)
    floor (0.427707672119141 × 131072)
    floor (56060.5)     		tx = 56060
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.664134979248047 × 217)
    floor (0.664134979248047 × 131072)
    floor (87049.5)     		ty = 87049
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56060 / 87049 ti = "17/56060/87049"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56060/87049.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56060 ÷ 217
    56060 ÷ 131072     		x = 0.427703857421875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 87049 ÷ 217
    87049 ÷ 131072     		y = 0.664131164550781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427703857421875 × 2 - 1) × π
    -0.14459228515625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45425006
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.664131164550781 × 2 - 1) × π
    -0.328262329101562 × 3.1415926535     		Φ = -1.03126652152627
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45425006} λ = -0.45425006}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-1.03126652152627))-π/2
    2×atan(0.356555089781002)-π/2
    2×0.342502565561953-π/2
    0.685005131123906-1.57079632675     		φ = -0.88579120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45425006} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.026611°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.88579120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -50.752097°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56060 KachelY 87049 -0.45425006 -0.88579120 -26.026611 -50.752097
    Oben rechts KachelX + 1 56061 KachelY 87049 -0.45420212 -0.88579120 -26.023865 -50.752097
    Unten links KachelX 56060 KachelY + 1 87050 -0.45425006 -0.88582152 -26.026611 -50.753834
    Unten rechts KachelX + 1 56061 KachelY + 1 87050 -0.45420212 -0.88582152 -26.023865 -50.753834
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.88579120--0.88582152) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dl = 193.168720000179m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.88579120--0.88582152) × R
    3.03200000000281e-05 × 6371000     		dr = 193.168720000179m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45425006--0.45420212) × cos(-0.88579120) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.63267698179569 × 6371000     		do = 193.235835346012m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45425006--0.45420212) × cos(-0.88582152) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.632653501217721 × 6371000     		du = 193.22866377311m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.88579120)-sin(-0.88582152))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63267698179569-0.632653501217721)×R²
    abs(-0.45420212--0.45425006)×2.34805779691927e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.34805779691927e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.34805779691927e-05×40589641000000     		ar = 37326.4263130861m²