Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56059 / 19165
↖ ↑ ↗
← N 77.638306°
W 26.029358°		 ← 65.39 m → N 77.638306°
W 26.026611°		 →
↑
65.37 m
↓
↑
65.37 m
↓
N 77.637718°
W 26.029358°		 ← 65.39 m →
4 274 m²		 N 77.637718°
W 26.026611°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56059 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19165 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427700042724609 y=0.146221160888672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427700042724609 × 217)
    floor (0.427700042724609 × 131072)
    floor (56059.5)     		tx = 56059
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146221160888672 × 217)
    floor (0.146221160888672 × 131072)
    floor (19165.5)     		ty = 19165
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56059 / 19165 ti = "17/56059/19165"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56059/19165.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56059 ÷ 217
    56059 ÷ 131072     		x = 0.427696228027344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19165 ÷ 217
    19165 ÷ 131072     		y = 0.146217346191406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427696228027344 × 2 - 1) × π
    -0.144607543945312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45429800
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146217346191406 × 2 - 1) × π
    0.707565307617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.22288197228162
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45429800} λ = -0.45429800}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22288197228162))-π/2
    2×atan(9.23390441194425)-π/2
    2×1.46292019378894-π/2
    2.92584038757788-1.57079632675     		φ = 1.35504406
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45429800} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.029358°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35504406 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.638306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56059 KachelY 19165 -0.45429800 1.35504406 -26.029358 77.638306
    Oben rechts KachelX + 1 56060 KachelY 19165 -0.45425006 1.35504406 -26.026611 77.638306
    Unten links KachelX 56059 KachelY + 1 19166 -0.45429800 1.35503380 -26.029358 77.637718
    Unten rechts KachelX + 1 56060 KachelY + 1 19166 -0.45425006 1.35503380 -26.026611 77.637718
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35504406-1.35503380) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dl = 65.3664600002528m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35504406-1.35503380) × R
    1.02600000000397e-05 × 6371000     		dr = 65.3664600002528m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45429800--0.45425006) × cos(1.35504406) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214082314765003 × 6371000     		do = 65.3862494079711m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45429800--0.45425006) × cos(1.35503380) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214092336882033 × 6371000     		du = 65.3893104204813m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35504406)-sin(1.35503380))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214082314765003-0.214092336882033)×R²
    abs(-0.45425006--0.45429800)×1.00221170299952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00221170299952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00221170299952e-05×40589641000000     		ar = 4274.1677001465m²