Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56058 / 43878
↖ ↑ ↗
← N 51.003386°
W 26.032104°		 ← 192.16 m → N 51.003386°
W 26.029358°		 →
↑
192.21 m
↓
↑
192.21 m
↓
N 51.001657°
W 26.032104°		 ← 192.16 m →
36 936 m²		 N 51.001657°
W 26.029358°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56058 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43878 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427692413330078 y=0.334766387939453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427692413330078 × 217)
    floor (0.427692413330078 × 131072)
    floor (56058.5)     		tx = 56058
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334766387939453 × 217)
    floor (0.334766387939453 × 131072)
    floor (43878.5)     		ty = 43878
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56058 / 43878 ti = "17/56058/43878"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56058/43878.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56058 ÷ 217
    56058 ÷ 131072     		x = 0.427688598632812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43878 ÷ 217
    43878 ÷ 131072     		y = 0.334762573242188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427688598632812 × 2 - 1) × π
    -0.144622802734375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45434593
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334762573242188 × 2 - 1) × π
    0.330474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.03821737197118
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45434593} λ = -0.45434593}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.03821737197118))-π/2
    2×atan(2.82417806542233)-π/2
    2×1.23048666838774-π/2
    2.46097333677547-1.57079632675     		φ = 0.89017701
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45434593} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.032104°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89017701 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.003386°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56058 KachelY 43878 -0.45434593 0.89017701 -26.032104 51.003386
    Oben rechts KachelX + 1 56059 KachelY 43878 -0.45429800 0.89017701 -26.029358 51.003386
    Unten links KachelX 56058 KachelY + 1 43879 -0.45434593 0.89014684 -26.032104 51.001657
    Unten rechts KachelX + 1 56059 KachelY + 1 43879 -0.45429800 0.89014684 -26.029358 51.001657
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89017701-0.89014684) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dl = 192.213070000328m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89017701-0.89014684) × R
    3.01700000000515e-05 × 6371000     		dr = 192.213070000328m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45434593--0.45429800) × cos(0.89017701) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629274467243847 × 6371000     		do = 192.156528744867m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45434593--0.45429800) × cos(0.89014684) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.629297914573014 × 6371000     		du = 192.1636886689m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89017701)-sin(0.89014684))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.629274467243847-0.629297914573014)×R²
    abs(-0.45429800--0.45434593)×2.34473291669257e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34473291669257e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34473291669257e-05×40589641000000     		ar = 36935.6844289484m²