Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56056 / 86285
↖ ↑ ↗
← S 49.405612°
W 26.037598°		 ← 198.74 m → S 49.405612°
W 26.034851°		 →
↑
198.71 m
↓
↑
198.71 m
↓
S 49.407399°
W 26.037598°		 ← 198.73 m →
39 491 m²		 S 49.407399°
W 26.034851°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56056 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 86285 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427677154541016 y=0.658306121826172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427677154541016 × 217)
    floor (0.427677154541016 × 131072)
    floor (56056.5)     		tx = 56056
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.658306121826172 × 217)
    floor (0.658306121826172 × 131072)
    floor (86285.5)     		ty = 86285
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56056 / 86285 ti = "17/56056/86285"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56056/86285.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56056 ÷ 217
    56056 ÷ 131072     		x = 0.42767333984375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 86285 ÷ 217
    86285 ÷ 131072     		y = 0.658302307128906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42767333984375 × 2 - 1) × π
    -0.1446533203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45444181
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.658302307128906 × 2 - 1) × π
    -0.316604614257812 × 3.1415926535     		Φ = -0.994642730216545
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45444181} λ = -0.45444181}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.994642730216545))-π/2
    2×atan(0.369855559157904)-π/2
    2×0.354252865177201-π/2
    0.708505730354401-1.57079632675     		φ = -0.86229060
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45444181} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.037598°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.86229060 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -49.405612°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56056 KachelY 86285 -0.45444181 -0.86229060 -26.037598 -49.405612
    Oben rechts KachelX + 1 56057 KachelY 86285 -0.45439387 -0.86229060 -26.034851 -49.405612
    Unten links KachelX 56056 KachelY + 1 86286 -0.45444181 -0.86232179 -26.037598 -49.407399
    Unten rechts KachelX + 1 56057 KachelY + 1 86286 -0.45439387 -0.86232179 -26.034851 -49.407399
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.86229060--0.86232179) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dl = 198.711489999737m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.86229060--0.86232179) × R
    3.11899999999588e-05 × 6371000     		dr = 198.711489999737m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45444181--0.45439387) × cos(-0.86229060) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650699843888015 × 6371000     		do = 198.740481337481m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45444181--0.45439387) × cos(-0.86232179) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.650676159911406 × 6371000     		du = 198.733247641399m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.86229060)-sin(-0.86232179))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.650699843888015-0.650676159911406)×R²
    abs(-0.45439387--0.45444181)×2.36839766086794e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.36839766086794e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.36839766086794e-05×40589641000000     		ar = 39491.2984637621m²