Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56054 / 29475
↖ ↑ ↗
← N 69.867056°
W 26.043091°		 ← 105.11 m → N 69.867056°
W 26.040345°		 →
↑
105.12 m
↓
↑
105.12 m
↓
N 69.866110°
W 26.043091°		 ← 105.11 m →
11 049 m²		 N 69.866110°
W 26.040345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29475 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427661895751953 y=0.224880218505859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427661895751953 × 217)
    floor (0.427661895751953 × 131072)
    floor (56054.5)     		tx = 56054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.224880218505859 × 217)
    floor (0.224880218505859 × 131072)
    floor (29475.5)     		ty = 29475
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56054 / 29475 ti = "17/56054/29475"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56054/29475.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56054 ÷ 217
    56054 ÷ 131072     		x = 0.427658081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29475 ÷ 217
    29475 ÷ 131072     		y = 0.224876403808594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427658081054688 × 2 - 1) × π
    -0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.224876403808594 × 2 - 1) × π
    0.550247192382812 × 3.1415926535     		Φ = 1.72865253719885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45453768} λ = -0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72865253719885))-π/2
    2×atan(5.63305845555685)-π/2
    2×1.39510324318844-π/2
    2.79020648637688-1.57079632675     		φ = 1.21941016
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21941016 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.867056°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56054 KachelY 29475 -0.45453768 1.21941016 -26.043091 69.867056
    Oben rechts KachelX + 1 56055 KachelY 29475 -0.45448975 1.21941016 -26.040345 69.867056
    Unten links KachelX 56054 KachelY + 1 29476 -0.45453768 1.21939366 -26.043091 69.866110
    Unten rechts KachelX + 1 56055 KachelY + 1 29476 -0.45448975 1.21939366 -26.040345 69.866110
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21941016-1.21939366) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dl = 105.121500000547m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21941016-1.21939366) × R
    1.65000000000859e-05 × 6371000     		dr = 105.121500000547m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.21941016) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.344199604869155 × 6371000     		do = 105.105490067986m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.21939366) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.3442150966145 × 6371000     		du = 105.110220658792m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21941016)-sin(1.21939366))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344199604869155-0.3442150966145)×R²
    abs(-0.45448975--0.45453768)×1.54917453450976e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.54917453450976e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.54917453450976e-05×40589641000000     		ar = 11049.0954180599m²