Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56054 / 15126
↖ ↑ ↗
← N 79.801609°
W 26.043091°		 ← 54.07 m → N 79.801609°
W 26.040345°		 →
↑
54.09 m
↓
↑
54.09 m
↓
N 79.801123°
W 26.043091°		 ← 54.07 m →
2 925 m²		 N 79.801123°
W 26.040345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15126 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427661895751953 y=0.115406036376953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427661895751953 × 217)
    floor (0.427661895751953 × 131072)
    floor (56054.5)     		tx = 56054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.115406036376953 × 217)
    floor (0.115406036376953 × 131072)
    floor (15126.5)     		ty = 15126
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56054 / 15126 ti = "17/56054/15126"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56054/15126.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56054 ÷ 217
    56054 ÷ 131072     		x = 0.427658081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15126 ÷ 217
    15126 ÷ 131072     		y = 0.115402221679688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427658081054688 × 2 - 1) × π
    -0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.115402221679688 × 2 - 1) × π
    0.769195556640625 × 3.1415926535     		Φ = 2.41649910984703
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45453768} λ = -0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.41649910984703))-π/2
    2×atan(11.2065576323223)-π/2
    2×1.48179857764175-π/2
    2.96359715528349-1.57079632675     		φ = 1.39280083
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39280083 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.801609°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56054 KachelY 15126 -0.45453768 1.39280083 -26.043091 79.801609
    Oben rechts KachelX + 1 56055 KachelY 15126 -0.45448975 1.39280083 -26.040345 79.801609
    Unten links KachelX 56054 KachelY + 1 15127 -0.45453768 1.39279234 -26.043091 79.801123
    Unten rechts KachelX + 1 56055 KachelY + 1 15127 -0.45448975 1.39279234 -26.040345 79.801123
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39280083-1.39279234) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dl = 54.0897900008834m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39280083-1.39279234) × R
    8.49000000013866e-06 × 6371000     		dr = 54.0897900008834m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.39280083) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.177057097237726 × 6371000     		do = 54.06651463839m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.39279234) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.177065453094281 × 6371000     		du = 54.0690661997098m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39280083)-sin(1.39279234))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.177057097237726-0.177065453094281)×R²
    abs(-0.45448975--0.45453768)×8.35585655450943e-06×R²
    4.79299999999738e-05×8.35585655450943e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×8.35585655450943e-06×40589641000000     		ar = 2924.51542958401m²