Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56054 / 14066
↖ ↑ ↗
← N 80.304405°
W 26.043091°		 ← 51.43 m → N 80.304405°
W 26.040345°		 →
↑
51.41 m
↓
↑
51.41 m
↓
N 80.303943°
W 26.043091°		 ← 51.43 m →
2 644 m²		 N 80.303943°
W 26.040345°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56054 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14066 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427661895751953 y=0.107318878173828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427661895751953 × 217)
    floor (0.427661895751953 × 131072)
    floor (56054.5)     		tx = 56054
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.107318878173828 × 217)
    floor (0.107318878173828 × 131072)
    floor (14066.5)     		ty = 14066
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56054 / 14066 ti = "17/56054/14066"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56054/14066.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56054 ÷ 217
    56054 ÷ 131072     		x = 0.427658081054688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14066 ÷ 217
    14066 ÷ 131072     		y = 0.107315063476562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427658081054688 × 2 - 1) × π
    -0.144683837890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45453768
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.107315063476562 × 2 - 1) × π
    0.785369873046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.46731222344429
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45453768} λ = -0.45453768}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46731222344429))-π/2
    2×atan(11.7907134214561)-π/2
    2×1.48618630031348-π/2
    2.97237260062696-1.57079632675     		φ = 1.40157627
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45453768} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.043091°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40157627 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.304405°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56054 KachelY 14066 -0.45453768 1.40157627 -26.043091 80.304405
    Oben rechts KachelX + 1 56055 KachelY 14066 -0.45448975 1.40157627 -26.040345 80.304405
    Unten links KachelX 56054 KachelY + 1 14067 -0.45453768 1.40156820 -26.043091 80.303943
    Unten rechts KachelX + 1 56055 KachelY + 1 14067 -0.45448975 1.40156820 -26.040345 80.303943
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40157627-1.40156820) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dl = 51.4139700001699m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40157627-1.40156820) × R
    8.07000000002667e-06 × 6371000     		dr = 51.4139700001699m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.40157627) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168413597545153 × 6371000     		do = 51.4271180259628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45453768--0.45448975) × cos(1.40156820) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.168421552271176 × 6371000     		du = 51.4295470972494m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40157627)-sin(1.40156820))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.168413597545153-0.168421552271176)×R²
    abs(-0.45448975--0.45453768)×7.95472602335701e-06×R²
    4.79299999999738e-05×7.95472602335701e-06×6371000²
    4.79299999999738e-05×7.95472602335701e-06×40589641000000     		ar = 2644.13474759151m²