Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56053 / 43629
↖ ↑ ↗
← N 51.431752°
W 26.045837°		 ← 190.42 m → N 51.431752°
W 26.043091°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 51.430039°
W 26.045837°		 ← 190.42 m →
36 262 m²		 N 51.430039°
W 26.043091°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56053 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43629 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427654266357422 y=0.332866668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427654266357422 × 217)
    floor (0.427654266357422 × 131072)
    floor (56053.5)     		tx = 56053
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332866668701172 × 217)
    floor (0.332866668701172 × 131072)
    floor (43629.5)     		ty = 43629
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56053 / 43629 ti = "17/56053/43629"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56053/43629.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56053 ÷ 217
    56053 ÷ 131072     		x = 0.427650451660156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43629 ÷ 217
    43629 ÷ 131072     		y = 0.332862854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427650451660156 × 2 - 1) × π
    -0.144699096679688 × 3.1415926535     		Λ = -0.45458562
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332862854003906 × 2 - 1) × π
    0.334274291992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.05015365997657
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45458562} λ = -0.45458562}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05015365997657))-π/2
    2×atan(2.85809025840529)-π/2
    2×1.23422486810377-π/2
    2.46844973620755-1.57079632675     		φ = 0.89765341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45458562} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.045837°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89765341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.431752°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56053 KachelY 43629 -0.45458562 0.89765341 -26.045837 51.431752
    Oben rechts KachelX + 1 56054 KachelY 43629 -0.45453768 0.89765341 -26.043091 51.431752
    Unten links KachelX 56053 KachelY + 1 43630 -0.45458562 0.89762352 -26.045837 51.430039
    Unten rechts KachelX + 1 56054 KachelY + 1 43630 -0.45453768 0.89762352 -26.043091 51.430039
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89765341-0.89762352) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89765341-0.89762352) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45458562--0.45453768) × cos(0.89765341) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623446402234491 × 6371000     		do = 190.416578752903m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45458562--0.45453768) × cos(0.89762352) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.623469771933436 × 6371000     		du = 190.423716460497m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89765341)-sin(0.89762352))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623446402234491-0.623469771933436)×R²
    abs(-0.45453768--0.45458562)×2.33696989455634e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.33696989455634e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.33696989455634e-05×40589641000000     		ar = 36261.5544711377m²