Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56052 / 29180
↖ ↑ ↗
← N 70.144096°
W 26.048584°		 ← 103.74 m → N 70.144096°
W 26.045837°		 →
↑
103.72 m
↓
↑
103.72 m
↓
N 70.143163°
W 26.048584°		 ← 103.74 m →
10 760 m²		 N 70.143163°
W 26.045837°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56052 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29180 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427646636962891 y=0.222629547119141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427646636962891 × 217)
    floor (0.427646636962891 × 131072)
    floor (56052.5)     		tx = 56052
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222629547119141 × 217)
    floor (0.222629547119141 × 131072)
    floor (29180.5)     		ty = 29180
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56052 / 29180 ti = "17/56052/29180"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56052/29180.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56052 ÷ 217
    56052 ÷ 131072     		x = 0.427642822265625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29180 ÷ 217
    29180 ÷ 131072     		y = 0.222625732421875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427642822265625 × 2 - 1) × π
    -0.14471435546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45463356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.222625732421875 × 2 - 1) × π
    0.55474853515625 × 3.1415926535     		Φ = 1.74279392258676
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45463356} λ = -0.45463356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74279392258676))-π/2
    2×atan(5.71328361660997)-π/2
    2×1.39752087796372-π/2
    2.79504175592745-1.57079632675     		φ = 1.22424543
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45463356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.048584°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22424543 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.144096°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56052 KachelY 29180 -0.45463356 1.22424543 -26.048584 70.144096
    Oben rechts KachelX + 1 56053 KachelY 29180 -0.45458562 1.22424543 -26.045837 70.144096
    Unten links KachelX 56052 KachelY + 1 29181 -0.45463356 1.22422915 -26.048584 70.143163
    Unten rechts KachelX + 1 56053 KachelY + 1 29181 -0.45458562 1.22422915 -26.045837 70.143163
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22424543-1.22422915) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dl = 103.719880000578m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22424543-1.22422915) × R
    1.62800000000907e-05 × 6371000     		dr = 103.719880000578m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45463356--0.45458562) × cos(1.22424543) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339655780836988 × 6371000     		do = 103.739618207347m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45463356--0.45458562) × cos(1.22422915) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339671092942931 × 6371000     		du = 103.744294918635m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22424543)-sin(1.22422915))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339655780836988-0.339671092942931)×R²
    abs(-0.45458562--0.45463356)×1.53121059425221e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.53121059425221e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.53121059425221e-05×40589641000000     		ar = 10760.1032860111m²