Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56051 / 29293
↖ ↑ ↗
← N 70.038410°
W 26.051330°		 ← 104.25 m → N 70.038410°
W 26.048584°		 →
↑
104.23 m
↓
↑
104.23 m
↓
N 70.037473°
W 26.051330°		 ← 104.25 m →
10 866 m²		 N 70.037473°
W 26.048584°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56051 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29293 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427639007568359 y=0.223491668701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427639007568359 × 217)
    floor (0.427639007568359 × 131072)
    floor (56051.5)     		tx = 56051
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.223491668701172 × 217)
    floor (0.223491668701172 × 131072)
    floor (29293.5)     		ty = 29293
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56051 / 29293 ti = "17/56051/29293"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56051/29293.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56051 ÷ 217
    56051 ÷ 131072     		x = 0.427635192871094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29293 ÷ 217
    29293 ÷ 131072     		y = 0.223487854003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427635192871094 × 2 - 1) × π
    -0.144729614257812 × 3.1415926535     		Λ = -0.45468149
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.223487854003906 × 2 - 1) × π
    0.553024291992188 × 3.1415926535     		Φ = 1.7373770529297
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45468149} λ = -0.45468149}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.7373770529297))-π/2
    2×atan(5.68241917374685)-π/2
    2×1.39659859549214-π/2
    2.79319719098427-1.57079632675     		φ = 1.22240086
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45468149} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.051330°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22240086 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.038410°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56051 KachelY 29293 -0.45468149 1.22240086 -26.051330 70.038410
    Oben rechts KachelX + 1 56052 KachelY 29293 -0.45463356 1.22240086 -26.048584 70.038410
    Unten links KachelX 56051 KachelY + 1 29294 -0.45468149 1.22238450 -26.051330 70.037473
    Unten rechts KachelX + 1 56052 KachelY + 1 29294 -0.45463356 1.22238450 -26.048584 70.037473
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22240086-1.22238450) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dl = 104.229560000309m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22240086-1.22238450) × R
    1.63600000000486e-05 × 6371000     		dr = 104.229560000309m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45468149--0.45463356) × cos(1.22240086) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.34139011199276 × 6371000     		do = 104.2475776201m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45468149--0.45463356) × cos(1.22238450) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.341405489065992 × 6371000     		du = 104.252273194398m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22240086)-sin(1.22238450))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.34139011199276-0.341405489065992)×R²
    abs(-0.45463356--0.45468149)×1.53770732317926e-05×R²
    4.79300000000293e-05×1.53770732317926e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×1.53770732317926e-05×40589641000000     		ar = 10865.9238556205m²