Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56050 / 43635
↖ ↑ ↗
← N 51.421476°
W 26.054077°		 ← 190.46 m → N 51.421476°
W 26.051330°		 →
↑
190.43 m
↓
↑
190.43 m
↓
N 51.419764°
W 26.054077°		 ← 190.47 m →
36 270 m²		 N 51.419764°
W 26.051330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43635 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427631378173828 y=0.332912445068359 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427631378173828 × 217)
    floor (0.427631378173828 × 131072)
    floor (56050.5)     		tx = 56050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332912445068359 × 217)
    floor (0.332912445068359 × 131072)
    floor (43635.5)     		ty = 43635
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56050 / 43635 ti = "17/56050/43635"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56050/43635.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56050 ÷ 217
    56050 ÷ 131072     		x = 0.427627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43635 ÷ 217
    43635 ÷ 131072     		y = 0.332908630371094
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427627563476562 × 2 - 1) × π
    -0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332908630371094 × 2 - 1) × π
    0.334182739257812 × 3.1415926535     		Φ = 1.04986603857885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45472943} λ = -0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04986603857885))-π/2
    2×atan(2.85726832869831)-π/2
    2×1.23413519975939-π/2
    2.46827039951877-1.57079632675     		φ = 0.89747407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89747407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.421476°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56050 KachelY 43635 -0.45472943 0.89747407 -26.054077 51.421476
    Oben rechts KachelX + 1 56051 KachelY 43635 -0.45468149 0.89747407 -26.051330 51.421476
    Unten links KachelX 56050 KachelY + 1 43636 -0.45472943 0.89744418 -26.054077 51.419764
    Unten rechts KachelX + 1 56051 KachelY + 1 43636 -0.45468149 0.89744418 -26.051330 51.419764
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89747407-0.89744418) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dl = 190.429189999853m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89747407-0.89744418) × R
    2.98899999999769e-05 × 6371000     		dr = 190.429189999853m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45472943--0.45468149) × cos(0.89747407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623586612072515 × 6371000     		do = 190.459402446216m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45472943--0.45468149) × cos(0.89744418) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623609978429055 × 6371000     		du = 190.466539132953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89747407)-sin(0.89744418))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623586612072515-0.623609978429055)×R²
    abs(-0.45468149--0.45472943)×2.33663565397668e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33663565397668e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33663565397668e-05×40589641000000     		ar = 36269.7092550051m²