Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56050 / 29521
↖ ↑ ↗
← N 69.823523°
W 26.054077°		 ← 105.35 m → N 69.823523°
W 26.051330°		 →
↑
105.31 m
↓
↑
105.31 m
↓
N 69.822576°
W 26.054077°		 ← 105.35 m →
11 094 m²		 N 69.822576°
W 26.051330°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56050 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29521 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427631378173828 y=0.225231170654297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427631378173828 × 217)
    floor (0.427631378173828 × 131072)
    floor (56050.5)     		tx = 56050
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225231170654297 × 217)
    floor (0.225231170654297 × 131072)
    floor (29521.5)     		ty = 29521
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56050 / 29521 ti = "17/56050/29521"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56050/29521.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56050 ÷ 217
    56050 ÷ 131072     		x = 0.427627563476562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29521 ÷ 217
    29521 ÷ 131072     		y = 0.225227355957031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427627563476562 × 2 - 1) × π
    -0.144744873046875 × 3.1415926535     		Λ = -0.45472943
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225227355957031 × 2 - 1) × π
    0.549545288085938 × 3.1415926535     		Φ = 1.72644743981632
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45472943} λ = -0.45472943}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72644743981632))-π/2
    2×atan(5.62065069828513)-π/2
    2×1.39472335328222-π/2
    2.78944670656445-1.57079632675     		φ = 1.21865038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45472943} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.054077°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21865038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.823523°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56050 KachelY 29521 -0.45472943 1.21865038 -26.054077 69.823523
    Oben rechts KachelX + 1 56051 KachelY 29521 -0.45468149 1.21865038 -26.051330 69.823523
    Unten links KachelX 56050 KachelY + 1 29522 -0.45472943 1.21863385 -26.054077 69.822576
    Unten rechts KachelX + 1 56051 KachelY + 1 29522 -0.45468149 1.21863385 -26.051330 69.822576
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21865038-1.21863385) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dl = 105.312629999386m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21865038-1.21863385) × R
    1.65299999999036e-05 × 6371000     		dr = 105.312629999386m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45472943--0.45468149) × cos(1.21865038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344912860233685 × 6371000     		do = 105.345265572321m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45472943--0.45468149) × cos(1.21863385) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.344928375818318 × 6371000     		du = 105.350004431239m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21865038)-sin(1.21863385))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.344912860233685-0.344928375818318)×R²
    abs(-0.45468149--0.45472943)×1.55155846335853e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.55155846335853e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.55155846335853e-05×40589641000000     		ar = 11094.4365065593m²