Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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15 / 5605 / 3019
↖ ↑ ↗
← N 81.182915°
W118.421631°		 ← 187.24 m → N 81.182915°
W118.410645°		 →
↑
187.24 m
↓
↑
187.24 m
↓
N 81.181231°
W118.421631°		 ← 187.28 m →
35 064 m²		 N 81.181231°
W118.410645°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 15 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 5605 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 3019 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.171066284179688 y=0.0921478271484375 und der Vergrößerungsstufe zoom=15 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.171066284179688 × 215)
    floor (0.171066284179688 × 32768)
    floor (5605.5)     		tx = 5605
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0921478271484375 × 215)
    floor (0.0921478271484375 × 32768)
    floor (3019.5)     		ty = 3019
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 15 / 5605 / 3019 ti = "15/5605/3019"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/15/5605/3019.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 5605 ÷ 215
    5605 ÷ 32768     		x = 0.171051025390625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 3019 ÷ 215
    3019 ÷ 32768     		y = 0.092132568359375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.171051025390625 × 2 - 1) × π
    -0.65789794921875 × 3.1415926535     		Λ = -2.06684736
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.092132568359375 × 2 - 1) × π
    0.81573486328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.5627066536882
    Länge (λ) Λ (unverändert) -2.06684736} λ = -2.06684736}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5627066536882))-π/2
    2×atan(12.9708775197014)-π/2
    2×1.4938527444609-π/2
    2.98770548892179-1.57079632675     		φ = 1.41690916
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -2.06684736} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -118.421631°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41690916 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.182915°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 5605 KachelY 3019 -2.06684736 1.41690916 -118.421631 81.182915
    Oben rechts KachelX + 1 5606 KachelY 3019 -2.06665562 1.41690916 -118.410645 81.182915
    Unten links KachelX 5605 KachelY + 1 3020 -2.06684736 1.41687977 -118.421631 81.181231
    Unten rechts KachelX + 1 5606 KachelY + 1 3020 -2.06665562 1.41687977 -118.410645 81.181231
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41690916-1.41687977) × R
    2.9389999999907e-05 × 6371000     		dl = 187.243689999407m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41690916-1.41687977) × R
    2.9389999999907e-05 × 6371000     		dr = 187.243689999407m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-2.06684736--2.06665562) × cos(1.41690916) × R
    0.000191739999999996 × 0.153280511887634 × 6371000     		do = 187.243724080609m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-2.06684736--2.06665562) × cos(1.41687977) × R
    0.000191739999999996 × 0.15330955451152 × 6371000     		du = 187.279201839566m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41690916)-sin(1.41687977))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.153280511887634-0.15330955451152)×R²
    abs(-2.06665562--2.06684736)×2.90426238857833e-05×R²
    0.000191739999999996×2.90426238857833e-05×6371000²
    0.000191739999999996×2.90426238857833e-05×40589641000000     		ar = 35063.5273217266m²