Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56048 / 28978
↖ ↑ ↗
← N 70.331684°
W 26.059570°		 ← 102.78 m → N 70.331684°
W 26.056824°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 70.330760°
W 26.059570°		 ← 102.78 m →
10 562 m²		 N 70.330760°
W 26.056824°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56048 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28978 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427616119384766 y=0.221088409423828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427616119384766 × 217)
    floor (0.427616119384766 × 131072)
    floor (56048.5)     		tx = 56048
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221088409423828 × 217)
    floor (0.221088409423828 × 131072)
    floor (28978.5)     		ty = 28978
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56048 / 28978 ti = "17/56048/28978"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56048/28978.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56048 ÷ 217
    56048 ÷ 131072     		x = 0.4276123046875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28978 ÷ 217
    28978 ÷ 131072     		y = 0.221084594726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4276123046875 × 2 - 1) × π
    -0.144775390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45482530
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221084594726562 × 2 - 1) × π
    0.557830810546875 × 3.1415926535     		Φ = 1.75247717631001
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45482530} λ = -0.45482530}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75247717631001))-π/2
    2×atan(5.76887551229558)-π/2
    2×1.39915789562295-π/2
    2.79831579124589-1.57079632675     		φ = 1.22751946
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45482530} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.059570°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22751946 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.331684°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56048 KachelY 28978 -0.45482530 1.22751946 -26.059570 70.331684
    Oben rechts KachelX + 1 56049 KachelY 28978 -0.45477737 1.22751946 -26.056824 70.331684
    Unten links KachelX 56048 KachelY + 1 28979 -0.45482530 1.22750333 -26.059570 70.330760
    Unten rechts KachelX + 1 56049 KachelY + 1 28979 -0.45477737 1.22750333 -26.056824 70.330760
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22751946-1.22750333) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22751946-1.22750333) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45482530--0.45477737) × cos(1.22751946) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.336574577604728 × 6371000     		do = 102.777096263716m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45482530--0.45477737) × cos(1.22750333) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.336589766485339 × 6371000     		du = 102.781734371133m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22751946)-sin(1.22750333))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336574577604728-0.336589766485339)×R²
    abs(-0.45477737--0.45482530)×1.51888806105283e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.51888806105283e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.51888806105283e-05×40589641000000     		ar = 10562.0474749785m²