Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56047 / 44238
↖ ↑ ↗
← N 50.377000°
W 26.062317°		 ← 194.78 m → N 50.377000°
W 26.059570°		 →
↑
194.76 m
↓
↑
194.76 m
↓
N 50.375248°
W 26.062317°		 ← 194.79 m →
37 936 m²		 N 50.375248°
W 26.059570°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56047 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44238 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427608489990234 y=0.337512969970703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427608489990234 × 217)
    floor (0.427608489990234 × 131072)
    floor (56047.5)     		tx = 56047
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337512969970703 × 217)
    floor (0.337512969970703 × 131072)
    floor (44238.5)     		ty = 44238
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56047 / 44238 ti = "17/56047/44238"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56047/44238.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56047 ÷ 217
    56047 ÷ 131072     		x = 0.427604675292969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44238 ÷ 217
    44238 ÷ 131072     		y = 0.337509155273438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427604675292969 × 2 - 1) × π
    -0.144790649414062 × 3.1415926535     		Λ = -0.45487324
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337509155273438 × 2 - 1) × π
    0.324981689453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.02096008810796
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45487324} λ = -0.45487324}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.02096008810796))-π/2
    2×atan(2.77585855381009)-π/2
    2×1.2250204172011-π/2
    2.45004083440221-1.57079632675     		φ = 0.87924451
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45487324} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.062317°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87924451 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.377000°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56047 KachelY 44238 -0.45487324 0.87924451 -26.062317 50.377000
    Oben rechts KachelX + 1 56048 KachelY 44238 -0.45482530 0.87924451 -26.059570 50.377000
    Unten links KachelX 56047 KachelY + 1 44239 -0.45487324 0.87921394 -26.062317 50.375248
    Unten rechts KachelX + 1 56048 KachelY + 1 44239 -0.45482530 0.87921394 -26.059570 50.375248
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87924451-0.87921394) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dl = 194.761470000402m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87924451-0.87921394) × R
    3.0570000000063e-05 × 6371000     		dr = 194.761470000402m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45487324--0.45482530) × cos(0.87924451) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637733247826986 × 6371000     		do = 194.780149140258m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45487324--0.45482530) × cos(0.87921394) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.637756794294583 × 6371000     		du = 194.787340837549m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87924451)-sin(0.87921394))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.637733247826986-0.637756794294583)×R²
    abs(-0.45482530--0.45487324)×2.35464675973907e-05×R²
    4.79400000000241e-05×2.35464675973907e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×2.35464675973907e-05×40589641000000     		ar = 37936.3685091469m²