Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56046 / 43645
↖ ↑ ↗
← N 51.404346°
W 26.065064°		 ← 190.53 m → N 51.404346°
W 26.062317°		 →
↑
190.56 m
↓
↑
190.56 m
↓
N 51.402632°
W 26.065064°		 ← 190.54 m →
36 308 m²		 N 51.402632°
W 26.062317°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56046 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43645 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427600860595703 y=0.332988739013672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427600860595703 × 217)
    floor (0.427600860595703 × 131072)
    floor (56046.5)     		tx = 56046
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332988739013672 × 217)
    floor (0.332988739013672 × 131072)
    floor (43645.5)     		ty = 43645
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56046 / 43645 ti = "17/56046/43645"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56046/43645.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56046 ÷ 217
    56046 ÷ 131072     		x = 0.427597045898438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43645 ÷ 217
    43645 ÷ 131072     		y = 0.332984924316406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427597045898438 × 2 - 1) × π
    -0.144805908203125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45492118
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332984924316406 × 2 - 1) × π
    0.334030151367188 × 3.1415926535     		Φ = 1.04938666958265
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45492118} λ = -0.45492118}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04938666958265))-π/2
    2×atan(2.85589897108772)-π/2
    2×1.23398570770876-π/2
    2.46797141541751-1.57079632675     		φ = 0.89717509
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45492118} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.065064°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89717509 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.404346°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56046 KachelY 43645 -0.45492118 0.89717509 -26.065064 51.404346
    Oben rechts KachelX + 1 56047 KachelY 43645 -0.45487324 0.89717509 -26.062317 51.404346
    Unten links KachelX 56046 KachelY + 1 43646 -0.45492118 0.89714518 -26.065064 51.402632
    Unten rechts KachelX + 1 56047 KachelY + 1 43646 -0.45487324 0.89714518 -26.062317 51.402632
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89717509-0.89714518) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dl = 190.556609999786m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89717509-0.89714518) × R
    2.99099999999664e-05 × 6371000     		dr = 190.556609999786m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45492118--0.45487324) × cos(0.89717509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623820313089502 × 6371000     		do = 190.530780752268m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45492118--0.45487324) × cos(0.89714518) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623843689503186 × 6371000     		du = 190.537920510716m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89717509)-sin(0.89714518))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623820313089502-0.623843689503186)×R²
    abs(-0.45487324--0.45492118)×2.33764136845505e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33764136845505e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33764136845505e-05×40589641000000     		ar = 36307.5799473824m²