Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56045 / 44271
↖ ↑ ↗
← N 50.319162°
W 26.067810°		 ← 194.98 m → N 50.319162°
W 26.065064°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.317408°
W 26.067810°		 ← 194.98 m →
38 024 m²		 N 50.317408°
W 26.065064°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56045 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44271 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427593231201172 y=0.337764739990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427593231201172 × 217)
    floor (0.427593231201172 × 131072)
    floor (56045.5)     		tx = 56045
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337764739990234 × 217)
    floor (0.337764739990234 × 131072)
    floor (44271.5)     		ty = 44271
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56045 / 44271 ti = "17/56045/44271"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56045/44271.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56045 ÷ 217
    56045 ÷ 131072     		x = 0.427589416503906
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44271 ÷ 217
    44271 ÷ 131072     		y = 0.337760925292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427589416503906 × 2 - 1) × π
    -0.144821166992188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45496911
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.337760925292969 × 2 - 1) × π
    0.324478149414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.01937817042049
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45496911} λ = -0.45496911}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01937817042049))-π/2
    2×atan(2.77147084547764)-π/2
    2×1.22451568909395-π/2
    2.44903137818791-1.57079632675     		φ = 0.87823505
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45496911} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.067810°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87823505 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.319162°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56045 KachelY 44271 -0.45496911 0.87823505 -26.067810 50.319162
    Oben rechts KachelX + 1 56046 KachelY 44271 -0.45492118 0.87823505 -26.065064 50.319162
    Unten links KachelX 56045 KachelY + 1 44272 -0.45496911 0.87820444 -26.067810 50.317408
    Unten rechts KachelX + 1 56046 KachelY + 1 44272 -0.45492118 0.87820444 -26.065064 50.317408
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87823505-0.87820444) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dl = 195.016310000268m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87823505-0.87820444) × R
    3.0610000000042e-05 × 6371000     		dr = 195.016310000268m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45496911--0.45492118) × cos(0.87823505) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.63851046669855 × 6371000     		do = 194.976852287436m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45496911--0.45492118) × cos(0.87820444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.638534024257602 × 6371000     		du = 194.98404587149m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87823505)-sin(0.87820444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.63851046669855-0.638534024257602)×R²
    abs(-0.45492118--0.45496911)×2.35575590517012e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.35575590517012e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.35575590517012e-05×40589641000000     		ar = 38024.3677045854m²