Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56044 / 44272
↖ ↑ ↗
← N 50.317408°
W 26.070557°		 ← 195.02 m → N 50.317408°
W 26.067810°		 →
↑
195.02 m
↓
↑
195.02 m
↓
N 50.315654°
W 26.070557°		 ← 195.03 m →
38 034 m²		 N 50.315654°
W 26.067810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 44272 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427585601806641 y=0.337772369384766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427585601806641 × 217)
    floor (0.427585601806641 × 131072)
    floor (56044.5)     		tx = 56044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.337772369384766 × 217)
    floor (0.337772369384766 × 131072)
    floor (44272.5)     		ty = 44272
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56044 / 44272 ti = "17/56044/44272"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56044/44272.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56044 ÷ 217
    56044 ÷ 131072     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 44272 ÷ 217
    44272 ÷ 131072     		y = 0.3377685546875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.3377685546875 × 2 - 1) × π
    0.324462890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.01933023352087
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.01933023352087))-π/2
    2×atan(2.77133799294221)-π/2
    2×1.2245003847056-π/2
    2.4490007694112-1.57079632675     		φ = 0.87820444
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.87820444 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 50.317408°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56044 KachelY 44272 -0.45501705 0.87820444 -26.070557 50.317408
    Oben rechts KachelX + 1 56045 KachelY 44272 -0.45496911 0.87820444 -26.067810 50.317408
    Unten links KachelX 56044 KachelY + 1 44273 -0.45501705 0.87817383 -26.070557 50.315654
    Unten rechts KachelX + 1 56045 KachelY + 1 44273 -0.45496911 0.87817383 -26.067810 50.315654
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.87820444-0.87817383) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dl = 195.01630999956m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.87820444-0.87817383) × R
    3.0609999999931e-05 × 6371000     		dr = 195.01630999956m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.87820444) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638534024257602 × 6371000     		do = 195.024726873928m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.87817383) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.638557581218365 × 6371000     		du = 195.031921776101m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.87820444)-sin(0.87817383))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.638534024257602-0.638557581218365)×R²
    abs(-0.45496911--0.45501705)×2.35569607631714e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.35569607631714e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.35569607631714e-05×40589641000000     		ar = 38033.7041581354m²