Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56044 / 43819
↖ ↑ ↗
← N 51.105247°
W 26.070557°		 ← 191.77 m → N 51.105247°
W 26.067810°		 →
↑
191.77 m
↓
↑
191.77 m
↓
N 51.103522°
W 26.070557°		 ← 191.78 m →
36 777 m²		 N 51.103522°
W 26.067810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43819 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427585601806641 y=0.334316253662109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427585601806641 × 217)
    floor (0.427585601806641 × 131072)
    floor (56044.5)     		tx = 56044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334316253662109 × 217)
    floor (0.334316253662109 × 131072)
    floor (43819.5)     		ty = 43819
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56044 / 43819 ti = "17/56044/43819"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56044/43819.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56044 ÷ 217
    56044 ÷ 131072     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43819 ÷ 217
    43819 ÷ 131072     		y = 0.334312438964844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334312438964844 × 2 - 1) × π
    0.331375122070312 × 3.1415926535     		Φ = 1.04104564904876
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04104564904876))-π/2
    2×atan(2.83217692967798)-π/2
    2×1.23137557189181-π/2
    2.46275114378363-1.57079632675     		φ = 0.89195482
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89195482 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.105247°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56044 KachelY 43819 -0.45501705 0.89195482 -26.070557 51.105247
    Oben rechts KachelX + 1 56045 KachelY 43819 -0.45496911 0.89195482 -26.067810 51.105247
    Unten links KachelX 56044 KachelY + 1 43820 -0.45501705 0.89192472 -26.070557 51.103522
    Unten rechts KachelX + 1 56045 KachelY + 1 43820 -0.45496911 0.89192472 -26.067810 51.103522
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89195482-0.89192472) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dl = 191.767100000209m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89195482-0.89192472) × R
    3.01000000000329e-05 × 6371000     		dr = 191.767100000209m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.89195482) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627891789555262 × 6371000     		do = 191.774314464715m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.89192472) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.627915216120363 × 6371000     		du = 191.781469540696m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89195482)-sin(0.89192472))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.627891789555262-0.627915216120363)×R²
    abs(-0.45496911--0.45501705)×2.34265651005705e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.34265651005705e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.34265651005705e-05×40589641000000     		ar = 36776.6901963709m²