Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56044 / 43644
↖ ↑ ↗
← N 51.406059°
W 26.070557°		 ← 190.52 m → N 51.406059°
W 26.067810°		 →
↑
190.49 m
↓
↑
190.49 m
↓
N 51.404346°
W 26.070557°		 ← 190.53 m →
36 294 m²		 N 51.404346°
W 26.067810°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56044 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43644 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427585601806641 y=0.332981109619141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427585601806641 × 217)
    floor (0.427585601806641 × 131072)
    floor (56044.5)     		tx = 56044
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332981109619141 × 217)
    floor (0.332981109619141 × 131072)
    floor (43644.5)     		ty = 43644
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56044 / 43644 ti = "17/56044/43644"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56044/43644.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56044 ÷ 217
    56044 ÷ 131072     		x = 0.427581787109375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43644 ÷ 217
    43644 ÷ 131072     		y = 0.332977294921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427581787109375 × 2 - 1) × π
    -0.14483642578125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45501705
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.332977294921875 × 2 - 1) × π
    0.33404541015625 × 3.1415926535     		Φ = 1.04943460648227
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45501705} λ = -0.45501705}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.04943460648227))-π/2
    2×atan(2.85603587731143)-π/2
    2×1.23400065943455-π/2
    2.46800131886911-1.57079632675     		φ = 0.89720499
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45501705} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.070557°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89720499 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.406059°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56044 KachelY 43644 -0.45501705 0.89720499 -26.070557 51.406059
    Oben rechts KachelX + 1 56045 KachelY 43644 -0.45496911 0.89720499 -26.067810 51.406059
    Unten links KachelX 56044 KachelY + 1 43645 -0.45501705 0.89717509 -26.070557 51.404346
    Unten rechts KachelX + 1 56045 KachelY + 1 43645 -0.45496911 0.89717509 -26.067810 51.404346
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89720499-0.89717509) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dl = 190.492900000173m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89720499-0.89717509) × R
    2.99000000000271e-05 × 6371000     		dr = 190.492900000173m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.89720499) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623796943933607 × 6371000     		do = 190.523643210536m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45501705--0.45496911) × cos(0.89717509) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.623820313089502 × 6371000     		du = 190.530780752268m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89720499)-sin(0.89717509))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.623796943933607-0.623820313089502)×R²
    abs(-0.45496911--0.45501705)×2.33691558948479e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.33691558948479e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.33691558948479e-05×40589641000000     		ar = 36294.081142163m²