Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56043 / 28973
↖ ↑ ↗
← N 70.336306°
W 26.073303°		 ← 102.78 m → N 70.336306°
W 26.070557°		 →
↑
102.76 m
↓
↑
102.76 m
↓
N 70.335382°
W 26.073303°		 ← 102.78 m →
10 562 m²		 N 70.335382°
W 26.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 28973 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427577972412109 y=0.221050262451172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427577972412109 × 217)
    floor (0.427577972412109 × 131072)
    floor (56043.5)     		tx = 56043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.221050262451172 × 217)
    floor (0.221050262451172 × 131072)
    floor (28973.5)     		ty = 28973
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56043 / 28973 ti = "17/56043/28973"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56043/28973.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56043 ÷ 217
    56043 ÷ 131072     		x = 0.427574157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 28973 ÷ 217
    28973 ÷ 131072     		y = 0.221046447753906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427574157714844 × 2 - 1) × π
    -0.144851684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45506499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.221046447753906 × 2 - 1) × π
    0.557907104492188 × 3.1415926535     		Φ = 1.75271686080811
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45506499} λ = -0.45506499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.75271686080811))-π/2
    2×atan(5.77025838804767)-π/2
    2×1.39919822692518-π/2
    2.79839645385037-1.57079632675     		φ = 1.22760013
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45506499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.073303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22760013 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.336306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56043 KachelY 28973 -0.45506499 1.22760013 -26.073303 70.336306
    Oben rechts KachelX + 1 56044 KachelY 28973 -0.45501705 1.22760013 -26.070557 70.336306
    Unten links KachelX 56043 KachelY + 1 28974 -0.45506499 1.22758400 -26.073303 70.335382
    Unten rechts KachelX + 1 56044 KachelY + 1 28974 -0.45501705 1.22758400 -26.070557 70.335382
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22760013-1.22758400) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dl = 102.764229999312m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22760013-1.22758400) × R
    1.61299999998921e-05 × 6371000     		dr = 102.764229999312m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45506499--0.45501705) × cos(1.22760013) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.336498613054541 × 6371000     		do = 102.775337901208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45506499--0.45501705) × cos(1.22758400) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.336513802373065 × 6371000     		du = 102.779977110059m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22760013)-sin(1.22758400))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.336498613054541-0.336513802373065)×R²
    abs(-0.45501705--0.45506499)×1.5189318524178e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5189318524178e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5189318524178e-05×40589641000000     		ar = 10561.8668348563m²