Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56043 / 14008
↖ ↑ ↗
← N 80.331197°
W 26.073303°		 ← 51.30 m → N 80.331197°
W 26.070557°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.330736°
W 26.073303°		 ← 51.30 m →
2 631 m²		 N 80.330736°
W 26.070557°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56043 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14008 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427577972412109 y=0.106876373291016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427577972412109 × 217)
    floor (0.427577972412109 × 131072)
    floor (56043.5)     		tx = 56043
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106876373291016 × 217)
    floor (0.106876373291016 × 131072)
    floor (14008.5)     		ty = 14008
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56043 / 14008 ti = "17/56043/14008"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56043/14008.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56043 ÷ 217
    56043 ÷ 131072     		x = 0.427574157714844
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14008 ÷ 217
    14008 ÷ 131072     		y = 0.10687255859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427574157714844 × 2 - 1) × π
    -0.144851684570312 × 3.1415926535     		Λ = -0.45506499
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.10687255859375 × 2 - 1) × π
    0.7862548828125 × 3.1415926535     		Φ = 2.47009256362225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45506499} λ = -0.45506499}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47009256362225))-π/2
    2×atan(11.8235412307999)-π/2
    2×1.48642010331583-π/2
    2.97284020663166-1.57079632675     		φ = 1.40204388
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45506499} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.073303°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40204388 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.331197°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56043 KachelY 14008 -0.45506499 1.40204388 -26.073303 80.331197
    Oben rechts KachelX + 1 56044 KachelY 14008 -0.45501705 1.40204388 -26.070557 80.331197
    Unten links KachelX 56043 KachelY + 1 14009 -0.45506499 1.40203583 -26.073303 80.330736
    Unten rechts KachelX + 1 56044 KachelY + 1 14009 -0.45501705 1.40203583 -26.070557 80.330736
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40204388-1.40203583) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40204388-1.40203583) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45506499--0.45501705) × cos(1.40204388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167952648294329 × 6371000     		do = 51.2970618902808m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45506499--0.45501705) × cos(1.40203583) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167960583939151 × 6371000     		du = 51.299485640473m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40204388)-sin(1.40203583))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167952648294329-0.167960583939151)×R²
    abs(-0.45501705--0.45506499)×7.93564482204356e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.93564482204356e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.93564482204356e-06×40589641000000     		ar = 2630.91148227369m²