Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56042 / 19182
↖ ↑ ↗
← N 77.628306°
W 26.076050°		 ← 65.42 m → N 77.628306°
W 26.073303°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.627717°
W 26.076050°		 ← 65.43 m →
4 281 m²		 N 77.627717°
W 26.073303°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56042 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19182 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427570343017578 y=0.146350860595703 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427570343017578 × 217)
    floor (0.427570343017578 × 131072)
    floor (56042.5)     		tx = 56042
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146350860595703 × 217)
    floor (0.146350860595703 × 131072)
    floor (19182.5)     		ty = 19182
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56042 / 19182 ti = "17/56042/19182"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56042/19182.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56042 ÷ 217
    56042 ÷ 131072     		x = 0.427566528320312
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19182 ÷ 217
    19182 ÷ 131072     		y = 0.146347045898438
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427566528320312 × 2 - 1) × π
    -0.144866943359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45511292
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146347045898438 × 2 - 1) × π
    0.707305908203125 × 3.1415926535     		Φ = 2.22206704498808
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45511292} λ = -0.45511292}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22206704498808))-π/2
    2×atan(9.22638251652823)-π/2
    2×1.46283292830048-π/2
    2.92566585660096-1.57079632675     		φ = 1.35486953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45511292} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.076050°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35486953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.628306°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56042 KachelY 19182 -0.45511292 1.35486953 -26.076050 77.628306
    Oben rechts KachelX + 1 56043 KachelY 19182 -0.45506499 1.35486953 -26.073303 77.628306
    Unten links KachelX 56042 KachelY + 1 19183 -0.45511292 1.35485926 -26.076050 77.627717
    Unten rechts KachelX + 1 56043 KachelY + 1 19183 -0.45506499 1.35485926 -26.073303 77.627717
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35486953-1.35485926) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35486953-1.35485926) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45511292--0.45506499) × cos(1.35486953) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.214252795134373 × 6371000     		do = 65.4246684553706m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45511292--0.45506499) × cos(1.35485926) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.214262826635649 × 6371000     		du = 65.4277316949643m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35486953)-sin(1.35485926))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214252795134373-0.214262826635649)×R²
    abs(-0.45506499--0.45511292)×1.00315012763474e-05×R²
    4.79299999999738e-05×1.00315012763474e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×1.00315012763474e-05×40589641000000     		ar = 4280.8473934195m²