Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56041 / 19183
↖ ↑ ↗
← N 77.627717°
W 26.078796°		 ← 65.44 m → N 77.627717°
W 26.076050°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.627129°
W 26.078796°		 ← 65.44 m →
4 282 m²		 N 77.627129°
W 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19183 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427562713623047 y=0.146358489990234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427562713623047 × 217)
    floor (0.427562713623047 × 131072)
    floor (56041.5)     		tx = 56041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146358489990234 × 217)
    floor (0.146358489990234 × 131072)
    floor (19183.5)     		ty = 19183
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56041 / 19183 ti = "17/56041/19183"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56041/19183.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56041 ÷ 217
    56041 ÷ 131072     		x = 0.427558898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19183 ÷ 217
    19183 ÷ 131072     		y = 0.146354675292969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427558898925781 × 2 - 1) × π
    -0.144882202148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45516086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146354675292969 × 2 - 1) × π
    0.707290649414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.22201910808846
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45516086} λ = -0.45516086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22201910808846))-π/2
    2×atan(9.22594024295637)-π/2
    2×1.46282779287288-π/2
    2.92565558574576-1.57079632675     		φ = 1.35485926
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45516086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.078796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35485926 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.627717°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56041 KachelY 19183 -0.45516086 1.35485926 -26.078796 77.627717
    Oben rechts KachelX + 1 56042 KachelY 19183 -0.45511292 1.35485926 -26.076050 77.627717
    Unten links KachelX 56041 KachelY + 1 19184 -0.45516086 1.35484899 -26.078796 77.627129
    Unten rechts KachelX + 1 56042 KachelY + 1 19184 -0.45511292 1.35484899 -26.076050 77.627129
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35485926-1.35484899) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35485926-1.35484899) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45516086--0.45511292) × cos(1.35485926) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.214262826635649 × 6371000     		do = 65.4413823797178m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45516086--0.45511292) × cos(1.35484899) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.214272858114327 × 6371000     		du = 65.4444462515162m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35485926)-sin(1.35484899))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214262826635649-0.214272858114327)×R²
    abs(-0.45511292--0.45516086)×1.00314786774525e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00314786774525e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00314786774525e-05×40589641000000     		ar = 4281.94100894651m²