Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56041 / 14002
↖ ↑ ↗
← N 80.333964°
W 26.078796°		 ← 51.28 m → N 80.333964°
W 26.076050°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.333503°
W 26.078796°		 ← 51.28 m →
2 630 m²		 N 80.333503°
W 26.076050°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56041 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427562713623047 y=0.106830596923828 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427562713623047 × 217)
    floor (0.427562713623047 × 131072)
    floor (56041.5)     		tx = 56041
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106830596923828 × 217)
    floor (0.106830596923828 × 131072)
    floor (14002.5)     		ty = 14002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56041 / 14002 ti = "17/56041/14002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56041/14002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56041 ÷ 217
    56041 ÷ 131072     		x = 0.427558898925781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14002 ÷ 217
    14002 ÷ 131072     		y = 0.106826782226562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427558898925781 × 2 - 1) × π
    -0.144882202148438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45516086
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106826782226562 × 2 - 1) × π
    0.786346435546875 × 3.1415926535     		Φ = 2.47038018501997
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45516086} λ = -0.45516086}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47038018501997))-π/2
    2×atan(11.8269424233592)-π/2
    2×1.48644425327972-π/2
    2.97288850655944-1.57079632675     		φ = 1.40209218
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45516086} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.078796°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40209218 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.333964°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56041 KachelY 14002 -0.45516086 1.40209218 -26.078796 80.333964
    Oben rechts KachelX + 1 56042 KachelY 14002 -0.45511292 1.40209218 -26.076050 80.333964
    Unten links KachelX 56041 KachelY + 1 14003 -0.45516086 1.40208413 -26.078796 80.333503
    Unten rechts KachelX + 1 56042 KachelY + 1 14003 -0.45511292 1.40208413 -26.076050 80.333503
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40209218-1.40208413) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dl = 51.2865499995296m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40209218-1.40208413) × R
    8.04999999992617e-06 × 6371000     		dr = 51.2865499995296m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45516086--0.45511292) × cos(1.40209218) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167905034196855 × 6371000     		do = 51.2825193193255m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45516086--0.45511292) × cos(1.40208413) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167912969906972 × 6371000     		du = 51.2849430894604m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40209218)-sin(1.40208413))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167905034196855-0.167912969906972)×R²
    abs(-0.45511292--0.45516086)×7.93571011684091e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.93571011684091e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.93571011684091e-06×40589641000000     		ar = 2630.16564458387m²