Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56040 / 14007
↖ ↑ ↗
← N 80.331658°
W 26.081543°		 ← 51.29 m → N 80.331658°
W 26.078796°		 →
↑
51.29 m
↓
↑
51.29 m
↓
N 80.331197°
W 26.081543°		 ← 51.30 m →
2 631 m²		 N 80.331197°
W 26.078796°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56040 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14007 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427555084228516 y=0.106868743896484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427555084228516 × 217)
    floor (0.427555084228516 × 131072)
    floor (56040.5)     		tx = 56040
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.106868743896484 × 217)
    floor (0.106868743896484 × 131072)
    floor (14007.5)     		ty = 14007
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56040 / 14007 ti = "17/56040/14007"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56040/14007.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56040 ÷ 217
    56040 ÷ 131072     		x = 0.42755126953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14007 ÷ 217
    14007 ÷ 131072     		y = 0.106864929199219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42755126953125 × 2 - 1) × π
    -0.1448974609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45520880
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.106864929199219 × 2 - 1) × π
    0.786270141601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.47014050052187
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45520880} λ = -0.45520880}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.47014050052187))-π/2
    2×atan(11.8241080282942)-π/2
    2×1.48642412878534-π/2
    2.97284825757068-1.57079632675     		φ = 1.40205193
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45520880} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.081543°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40205193 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.331658°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56040 KachelY 14007 -0.45520880 1.40205193 -26.081543 80.331658
    Oben rechts KachelX + 1 56041 KachelY 14007 -0.45516086 1.40205193 -26.078796 80.331658
    Unten links KachelX 56040 KachelY + 1 14008 -0.45520880 1.40204388 -26.081543 80.331197
    Unten rechts KachelX + 1 56041 KachelY + 1 14008 -0.45516086 1.40204388 -26.078796 80.331197
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40205193-1.40204388) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dl = 51.2865500009443m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40205193-1.40204388) × R
    8.05000000014822e-06 × 6371000     		dr = 51.2865500009443m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45520880--0.45516086) × cos(1.40205193) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167944712638623 × 6371000     		do = 51.2946381367644m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45520880--0.45516086) × cos(1.40204388) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.167952648294329 × 6371000     		du = 51.2970618902808m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40205193)-sin(1.40204388))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.167944712638623-0.167952648294329)×R²
    abs(-0.45516086--0.45520880)×7.93565570600396e-06×R²
    4.79400000000241e-05×7.93565570600396e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×7.93565570600396e-06×40589641000000     		ar = 2630.78717656815m²