Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56036 / 19178
↖ ↑ ↗
← N 77.630660°
W 26.092530°		 ← 65.43 m → N 77.630660°
W 26.089783°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.630071°
W 26.092530°		 ← 65.43 m →
4 281 m²		 N 77.630071°
W 26.089783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19178 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427524566650391 y=0.146320343017578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427524566650391 × 217)
    floor (0.427524566650391 × 131072)
    floor (56036.5)     		tx = 56036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146320343017578 × 217)
    floor (0.146320343017578 × 131072)
    floor (19178.5)     		ty = 19178
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56036 / 19178 ti = "17/56036/19178"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56036/19178.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56036 ÷ 217
    56036 ÷ 131072     		x = 0.427520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19178 ÷ 217
    19178 ÷ 131072     		y = 0.146316528320312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146316528320312 × 2 - 1) × π
    0.707366943359375 × 3.1415926535     		Φ = 2.22225879258656
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45540055} λ = -0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.22225879258656))-π/2
    2×atan(9.22815182284313)-π/2
    2×1.46285346760645-π/2
    2.9257069352129-1.57079632675     		φ = 1.35491061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35491061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.630660°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56036 KachelY 19178 -0.45540055 1.35491061 -26.092530 77.630660
    Oben rechts KachelX + 1 56037 KachelY 19178 -0.45535261 1.35491061 -26.089783 77.630660
    Unten links KachelX 56036 KachelY + 1 19179 -0.45540055 1.35490034 -26.092530 77.630071
    Unten rechts KachelX + 1 56037 KachelY + 1 19179 -0.45535261 1.35490034 -26.089783 77.630071
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35491061-1.35490034) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35491061-1.35490034) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45540055--0.45535261) × cos(1.35491061) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.2142126689033 × 6371000     		do = 65.4260629171982m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45540055--0.45535261) × cos(1.35490034) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.214222700494961 × 6371000     		du = 65.4291268235047m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35491061)-sin(1.35490034))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.2142126689033-0.214222700494961)×R²
    abs(-0.45535261--0.45540055)×1.00315916614635e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.00315916614635e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.00315916614635e-05×40589641000000     		ar = 4280.93865513674m²