Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56036 / 14617
↖ ↑ ↗
← N 80.046188°
W 26.092530°		 ← 52.79 m → N 80.046188°
W 26.089783°		 →
↑
52.82 m
↓
↑
52.82 m
↓
N 80.045713°
W 26.092530°		 ← 52.80 m →
2 788 m²		 N 80.045713°
W 26.089783°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56036 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14617 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427524566650391 y=0.111522674560547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427524566650391 × 217)
    floor (0.427524566650391 × 131072)
    floor (56036.5)     		tx = 56036
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.111522674560547 × 217)
    floor (0.111522674560547 × 131072)
    floor (14617.5)     		ty = 14617
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56036 / 14617 ti = "17/56036/14617"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56036/14617.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56036 ÷ 217
    56036 ÷ 131072     		x = 0.427520751953125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14617 ÷ 217
    14617 ÷ 131072     		y = 0.111518859863281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427520751953125 × 2 - 1) × π
    -0.14495849609375 × 3.1415926535     		Λ = -0.45540055
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.111518859863281 × 2 - 1) × π
    0.776962280273438 × 3.1415926535     		Φ = 2.44089899175364
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45540055} λ = -0.45540055}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44089899175364))-π/2
    2×atan(11.4833595493778)-π/2
    2×1.48393292708429-π/2
    2.96786585416858-1.57079632675     		φ = 1.39706953
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45540055} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.092530°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39706953 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.046188°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56036 KachelY 14617 -0.45540055 1.39706953 -26.092530 80.046188
    Oben rechts KachelX + 1 56037 KachelY 14617 -0.45535261 1.39706953 -26.089783 80.046188
    Unten links KachelX 56036 KachelY + 1 14618 -0.45540055 1.39706124 -26.092530 80.045713
    Unten rechts KachelX + 1 56037 KachelY + 1 14618 -0.45535261 1.39706124 -26.089783 80.045713
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39706953-1.39706124) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dl = 52.8155900001395m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39706953-1.39706124) × R
    8.29000000002189e-06 × 6371000     		dr = 52.8155900001395m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45540055--0.45535261) × cos(1.39706953) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172854239828179 × 6371000     		do = 52.7941341116855m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45540055--0.45535261) × cos(1.39706124) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.172862405036316 × 6371000     		du = 52.796627976423m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39706953)-sin(1.39706124))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.172854239828179-0.172862405036316)×R²
    abs(-0.45535261--0.45540055)×8.16520813679e-06×R²
    4.79400000000241e-05×8.16520813679e-06×6371000²
    4.79400000000241e-05×8.16520813679e-06×40589641000000     		ar = 2788.419199275m²