Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56030 / 29544
↖ ↑ ↗
← N 69.801724°
W 26.109009°		 ← 105.45 m → N 69.801724°
W 26.106262°		 →
↑
105.44 m
↓
↑
105.44 m
↓
N 69.800775°
W 26.109009°		 ← 105.46 m →
11 119 m²		 N 69.800775°
W 26.106262°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56030 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29544 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427478790283203 y=0.225406646728516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427478790283203 × 217)
    floor (0.427478790283203 × 131072)
    floor (56030.5)     		tx = 56030
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225406646728516 × 217)
    floor (0.225406646728516 × 131072)
    floor (29544.5)     		ty = 29544
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56030 / 29544 ti = "17/56030/29544"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56030/29544.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56030 ÷ 217
    56030 ÷ 131072     		x = 0.427474975585938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29544 ÷ 217
    29544 ÷ 131072     		y = 0.22540283203125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427474975585938 × 2 - 1) × π
    -0.145050048828125 × 3.1415926535     		Λ = -0.45568817
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22540283203125 × 2 - 1) × π
    0.5491943359375 × 3.1415926535     		Φ = 1.72534489112506
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45568817} λ = -0.45568817}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72534489112506))-π/2
    2×atan(5.61445707222827)-π/2
    2×1.39453311325355-π/2
    2.7890662265071-1.57079632675     		φ = 1.21826990
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45568817} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.109009°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21826990 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.801724°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56030 KachelY 29544 -0.45568817 1.21826990 -26.109009 69.801724
    Oben rechts KachelX + 1 56031 KachelY 29544 -0.45564023 1.21826990 -26.106262 69.801724
    Unten links KachelX 56030 KachelY + 1 29545 -0.45568817 1.21825335 -26.109009 69.800775
    Unten rechts KachelX + 1 56031 KachelY + 1 29545 -0.45564023 1.21825335 -26.106262 69.800775
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21826990-1.21825335) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dl = 105.440050000026m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21826990-1.21825335) × R
    1.65500000000041e-05 × 6371000     		dr = 105.440050000026m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45568817--0.45564023) × cos(1.21826990) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345269966993875 × 6371000     		do = 105.454335168933m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45568817--0.45564023) × cos(1.21825335) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345285499178018 × 6371000     		du = 105.459079097769m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21826990)-sin(1.21825335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345269966993875-0.345285499178018)×R²
    abs(-0.45564023--0.45568817)×1.5532184143574e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.5532184143574e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.5532184143574e-05×40589641000000     		ar = 11119.3604733738m²