Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56029 / 43747
↖ ↑ ↗
← N 51.229248°
W 26.111755°		 ← 191.22 m → N 51.229248°
W 26.109009°		 →
↑
191.26 m
↓
↑
191.26 m
↓
N 51.227528°
W 26.111755°		 ← 191.23 m →
36 573 m²		 N 51.227528°
W 26.109009°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56029 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43747 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427471160888672 y=0.333766937255859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427471160888672 × 217)
    floor (0.427471160888672 × 131072)
    floor (56029.5)     		tx = 56029
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.333766937255859 × 217)
    floor (0.333766937255859 × 131072)
    floor (43747.5)     		ty = 43747
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56029 / 43747 ti = "17/56029/43747"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56029/43747.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56029 ÷ 217
    56029 ÷ 131072     		x = 0.427467346191406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43747 ÷ 217
    43747 ÷ 131072     		y = 0.333763122558594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427467346191406 × 2 - 1) × π
    -0.145065307617188 × 3.1415926535     		Λ = -0.45573610
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.333763122558594 × 2 - 1) × π
    0.332473754882812 × 3.1415926535     		Φ = 1.0444971058214
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45573610} λ = -0.45573610}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0444971058214))-π/2
    2×atan(2.84196895457791)-π/2
    2×1.23245768765534-π/2
    2.46491537531068-1.57079632675     		φ = 0.89411905
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45573610} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.111755°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89411905 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.229248°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56029 KachelY 43747 -0.45573610 0.89411905 -26.111755 51.229248
    Oben rechts KachelX + 1 56030 KachelY 43747 -0.45568817 0.89411905 -26.109009 51.229248
    Unten links KachelX 56029 KachelY + 1 43748 -0.45573610 0.89408903 -26.111755 51.227528
    Unten rechts KachelX + 1 56030 KachelY + 1 43748 -0.45568817 0.89408903 -26.109009 51.227528
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89411905-0.89408903) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dl = 191.257420000478m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89411905-0.89408903) × R
    3.0020000000075e-05 × 6371000     		dr = 191.257420000478m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45573610--0.45568817) × cos(0.89411905) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626205898768165 × 6371000     		do = 191.219504445717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45573610--0.45568817) × cos(0.89408903) × R
    4.79299999999738e-05 × 0.626229303810978 × 6371000     		du = 191.226651457103m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89411905)-sin(0.89408903))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.626205898768165-0.626229303810978)×R²
    abs(-0.45568817--0.45573610)×2.34050428133958e-05×R²
    4.79299999999738e-05×2.34050428133958e-05×6371000²
    4.79299999999738e-05×2.34050428133958e-05×40589641000000     		ar = 36572.8325361526m²