Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56028 / 29558
↖ ↑ ↗
← N 69.788443°
W 26.114502°		 ← 105.52 m → N 69.788443°
W 26.111755°		 →
↑
105.50 m
↓
↑
105.50 m
↓
N 69.787494°
W 26.114502°		 ← 105.53 m →
11 133 m²		 N 69.787494°
W 26.111755°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56028 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29558 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427463531494141 y=0.225513458251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427463531494141 × 217)
    floor (0.427463531494141 × 131072)
    floor (56028.5)     		tx = 56028
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.225513458251953 × 217)
    floor (0.225513458251953 × 131072)
    floor (29558.5)     		ty = 29558
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56028 / 29558 ti = "17/56028/29558"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56028/29558.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56028 ÷ 217
    56028 ÷ 131072     		x = 0.427459716796875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29558 ÷ 217
    29558 ÷ 131072     		y = 0.225509643554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427459716796875 × 2 - 1) × π
    -0.14508056640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45578404
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.225509643554688 × 2 - 1) × π
    0.548980712890625 × 3.1415926535     		Φ = 1.72467377453038
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45578404} λ = -0.45578404}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.72467377453038))-π/2
    2×atan(5.61069038100284)-π/2
    2×1.39441721855822-π/2
    2.78883443711644-1.57079632675     		φ = 1.21803811
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45578404} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.114502°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.21803811 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 69.788443°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56028 KachelY 29558 -0.45578404 1.21803811 -26.114502 69.788443
    Oben rechts KachelX + 1 56029 KachelY 29558 -0.45573610 1.21803811 -26.111755 69.788443
    Unten links KachelX 56028 KachelY + 1 29559 -0.45578404 1.21802155 -26.114502 69.787494
    Unten rechts KachelX + 1 56029 KachelY + 1 29559 -0.45573610 1.21802155 -26.111755 69.787494
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.21803811-1.21802155) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dl = 105.503759999639m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.21803811-1.21802155) × R
    1.65599999999433e-05 × 6371000     		dr = 105.503759999639m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45578404--0.45573610) × cos(1.21803811) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345487493422154 × 6371000     		do = 105.52077333926m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45578404--0.45573610) × cos(1.21802155) × R
    4.79400000000241e-05 × 0.345503033665528 × 6371000     		du = 105.525519729592m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.21803811)-sin(1.21802155))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.345487493422154-0.345503033665528)×R²
    abs(-0.45573610--0.45578404)×1.55402433742458e-05×R²
    4.79400000000241e-05×1.55402433742458e-05×6371000²
    4.79400000000241e-05×1.55402433742458e-05×40589641000000     		ar = 11133.0887266482m²