Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56025 / 43852
↖ ↑ ↗
← N 51.048301°
W 26.122742°		 ← 191.97 m → N 51.048301°
W 26.119995°		 →
↑
191.96 m
↓
↑
191.96 m
↓
N 51.046575°
W 26.122742°		 ← 191.98 m →
36 851 m²		 N 51.046575°
W 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43852 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427440643310547 y=0.334568023681641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427440643310547 × 217)
    floor (0.427440643310547 × 131072)
    floor (56025.5)     		tx = 56025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.334568023681641 × 217)
    floor (0.334568023681641 × 131072)
    floor (43852.5)     		ty = 43852
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56025 / 43852 ti = "17/56025/43852"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56025/43852.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56025 ÷ 217
    56025 ÷ 131072     		x = 0.427436828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43852 ÷ 217
    43852 ÷ 131072     		y = 0.334564208984375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427436828613281 × 2 - 1) × π
    -0.145126342773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45592785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.334564208984375 × 2 - 1) × π
    0.33087158203125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0394637313613
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45592785} λ = -0.45592785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0394637313613))-π/2
    2×atan(2.82770020074082)-π/2
    2×1.23087862955104-π/2
    2.46175725910207-1.57079632675     		φ = 0.89096093
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45592785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.122742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89096093 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.048301°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56025 KachelY 43852 -0.45592785 0.89096093 -26.122742 51.048301
    Oben rechts KachelX + 1 56026 KachelY 43852 -0.45587992 0.89096093 -26.119995 51.048301
    Unten links KachelX 56025 KachelY + 1 43853 -0.45592785 0.89093080 -26.122742 51.046575
    Unten rechts KachelX + 1 56026 KachelY + 1 43853 -0.45587992 0.89093080 -26.119995 51.046575
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89096093-0.89093080) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dl = 191.958229999755m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89096093-0.89093080) × R
    3.01299999999616e-05 × 6371000     		dr = 191.958229999755m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45592785--0.45587992) × cos(0.89096093) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628665024539012 × 6371000     		do = 191.97042808335m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45592785--0.45587992) × cos(0.89093080) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.628688455637847 × 6371000     		du = 191.977583051255m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89096093)-sin(0.89093080))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.628665024539012-0.628688455637847)×R²
    abs(-0.45587992--0.45592785)×2.34310988341813e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.34310988341813e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.34310988341813e-05×40589641000000     		ar = 36850.9903174421m²