Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56025 / 13623
↖ ↑ ↗
← N 80.507190°
W 26.122742°		 ← 50.36 m → N 80.507190°
W 26.119995°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.506737°
W 26.122742°		 ← 50.36 m →
2 535 m²		 N 80.506737°
W 26.119995°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56025 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13623 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427440643310547 y=0.103939056396484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427440643310547 × 217)
    floor (0.427440643310547 × 131072)
    floor (56025.5)     		tx = 56025
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103939056396484 × 217)
    floor (0.103939056396484 × 131072)
    floor (13623.5)     		ty = 13623
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56025 / 13623 ti = "17/56025/13623"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56025/13623.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56025 ÷ 217
    56025 ÷ 131072     		x = 0.427436828613281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13623 ÷ 217
    13623 ÷ 131072     		y = 0.103935241699219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.427436828613281 × 2 - 1) × π
    -0.145126342773438 × 3.1415926535     		Λ = -0.45592785
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103935241699219 × 2 - 1) × π
    0.792129516601562 × 3.1415926535     		Φ = 2.48854826997598
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45592785} λ = -0.45592785}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48854826997598))-π/2
    2×atan(12.0437791073152)-π/2
    2×1.48795592982084-π/2
    2.97591185964169-1.57079632675     		φ = 1.40511553
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45592785} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.122742°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40511553 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.507190°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56025 KachelY 13623 -0.45592785 1.40511553 -26.122742 80.507190
    Oben rechts KachelX + 1 56026 KachelY 13623 -0.45587992 1.40511553 -26.119995 80.507190
    Unten links KachelX 56025 KachelY + 1 13624 -0.45592785 1.40510763 -26.122742 80.506737
    Unten rechts KachelX + 1 56026 KachelY + 1 13624 -0.45587992 1.40510763 -26.119995 80.506737
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40511553-1.40510763) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40511553-1.40510763) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45592785--0.45587992) × cos(1.40511553) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164923843329168 × 6371000     		do = 50.3614795944274m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45592785--0.45587992) × cos(1.40510763) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.164931635143825 × 6371000     		du = 50.3638589187686m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40511553)-sin(1.40510763))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164923843329168-0.164931635143825)×R²
    abs(-0.45587992--0.45592785)×7.79181465737633e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.79181465737633e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.79181465737633e-06×40589641000000     		ar = 2534.79846997827m²