Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56024 / 43592
↖ ↑ ↗
← N 51.495065°
W 26.125488°		 ← 190.15 m → N 51.495065°
W 26.122742°		 →
↑
190.17 m
↓
↑
190.17 m
↓
N 51.493355°
W 26.125488°		 ← 190.16 m →
36 163 m²		 N 51.493355°
W 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43592 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427433013916016 y=0.332584381103516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427433013916016 × 217)
    floor (0.427433013916016 × 131072)
    floor (56024.5)     		tx = 56024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.332584381103516 × 217)
    floor (0.332584381103516 × 131072)
    floor (43592.5)     		ty = 43592
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56024 / 43592 ti = "17/56024/43592"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56024/43592.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56024 ÷ 217
    56024 ÷ 131072     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43592 ÷ 217
    43592 ÷ 131072     		y = 0.33258056640625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.33258056640625 × 2 - 1) × π
    0.3348388671875 × 3.1415926535     		Φ = 1.05192732526251
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.05192732526251))-π/2
    2×atan(2.86316405215651)-π/2
    2×1.2347773774224-π/2
    2.46955475484479-1.57079632675     		φ = 0.89875843
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.89875843 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 51.495065°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56024 KachelY 43592 -0.45597579 0.89875843 -26.125488 51.495065
    Oben rechts KachelX + 1 56025 KachelY 43592 -0.45592785 0.89875843 -26.122742 51.495065
    Unten links KachelX 56024 KachelY + 1 43593 -0.45597579 0.89872858 -26.125488 51.493355
    Unten rechts KachelX + 1 56025 KachelY + 1 43593 -0.45592785 0.89872858 -26.122742 51.493355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.89875843-0.89872858) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dl = 190.174349999987m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.89875843-0.89872858) × R
    2.98499999999979e-05 × 6371000     		dr = 190.174349999987m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(0.89875843) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.622582044107387 × 6371000     		do = 190.152581532087m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(0.89872858) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.62260540308285 × 6371000     		du = 190.159715964453m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.89875843)-sin(0.89872858))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.622582044107387-0.62260540308285)×R²
    abs(-0.45592785--0.45597579)×2.3358975462795e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.3358975462795e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.3358975462795e-05×40589641000000     		ar = 36162.8219893638m²