Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56024 / 29160
↖ ↑ ↗
← N 70.162745°
W 26.125488°		 ← 103.65 m → N 70.162745°
W 26.122742°		 →
↑
103.59 m
↓
↑
103.59 m
↓
N 70.161814°
W 26.125488°		 ← 103.65 m →
10 737 m²		 N 70.161814°
W 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 29160 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427433013916016 y=0.222476959228516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427433013916016 × 217)
    floor (0.427433013916016 × 131072)
    floor (56024.5)     		tx = 56024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.222476959228516 × 217)
    floor (0.222476959228516 × 131072)
    floor (29160.5)     		ty = 29160
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56024 / 29160 ti = "17/56024/29160"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56024/29160.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56024 ÷ 217
    56024 ÷ 131072     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 29160 ÷ 217
    29160 ÷ 131072     		y = 0.22247314453125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.22247314453125 × 2 - 1) × π
    0.5550537109375 × 3.1415926535     		Φ = 1.74375266057916
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.74375266057916))-π/2
    2×atan(5.71876378527776)-π/2
    2×1.39768362502309-π/2
    2.79536725004618-1.57079632675     		φ = 1.22457092
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.22457092 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 70.162745°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56024 KachelY 29160 -0.45597579 1.22457092 -26.125488 70.162745
    Oben rechts KachelX + 1 56025 KachelY 29160 -0.45592785 1.22457092 -26.122742 70.162745
    Unten links KachelX 56024 KachelY + 1 29161 -0.45597579 1.22455466 -26.125488 70.161814
    Unten rechts KachelX + 1 56025 KachelY + 1 29161 -0.45592785 1.22455466 -26.122742 70.161814
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.22457092-1.22455466) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dl = 103.592459999937m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.22457092-1.22455466) × R
    1.62599999999902e-05 × 6371000     		dr = 103.592459999937m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.22457092) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339349623291592 × 6371000     		do = 103.646109812488m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.22455466) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.339364918383496 × 6371000     		du = 103.650781327251m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.22457092)-sin(1.22455466))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.339349623291592-0.339364918383496)×R²
    abs(-0.45592785--0.45597579)×1.52950919041217e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.52950919041217e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.52950919041217e-05×40589641000000     		ar = 10737.197452088m²