Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 56024 / 19191
↖ ↑ ↗
← N 77.623008°
W 26.125488°		 ← 65.47 m → N 77.623008°
W 26.122742°		 →
↑
65.43 m
↓
↑
65.43 m
↓
N 77.622420°
W 26.125488°		 ← 65.47 m →
4 284 m²		 N 77.622420°
W 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 19191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427433013916016 y=0.146419525146484 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427433013916016 × 217)
    floor (0.427433013916016 × 131072)
    floor (56024.5)     		tx = 56024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.146419525146484 × 217)
    floor (0.146419525146484 × 131072)
    floor (19191.5)     		ty = 19191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56024 / 19191 ti = "17/56024/19191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56024/19191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56024 ÷ 217
    56024 ÷ 131072     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 19191 ÷ 217
    19191 ÷ 131072     		y = 0.146415710449219
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.146415710449219 × 2 - 1) × π
    0.707168579101562 × 3.1415926535     		Φ = 2.2216356128915
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.2216356128915))-π/2
    2×atan(9.22240281752194)-π/2
    2×1.46278670079444-π/2
    2.92557340158888-1.57079632675     		φ = 1.35477707
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35477707 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.623008°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56024 KachelY 19191 -0.45597579 1.35477707 -26.125488 77.623008
    Oben rechts KachelX + 1 56025 KachelY 19191 -0.45592785 1.35477707 -26.122742 77.623008
    Unten links KachelX 56024 KachelY + 1 19192 -0.45597579 1.35476680 -26.125488 77.622420
    Unten rechts KachelX + 1 56025 KachelY + 1 19192 -0.45592785 1.35476680 -26.122742 77.622420
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35477707-1.35476680) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dl = 65.4301699998656m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35477707-1.35476680) × R
    1.02699999999789e-05 × 6371000     		dr = 65.4301699998656m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.35477707) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214343107134963 × 6371000     		do = 65.4659021105526m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.35476680) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.214353138432745 × 6371000     		du = 65.4689659271008m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35477707)-sin(1.35476680))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.214343107134963-0.214353138432745)×R²
    abs(-0.45592785--0.45597579)×1.00312977819039e-05×R²
    4.79399999999686e-05×1.00312977819039e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×1.00312977819039e-05×40589641000000     		ar = 4283.54533733225m²