Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 56024 / 13620
↖ ↑ ↗
← N 80.508549°
W 26.125488°		 ← 50.36 m → N 80.508549°
W 26.122742°		 →
↑
50.39 m
↓
↑
50.39 m
↓
N 80.508095°
W 26.125488°		 ← 50.37 m →
2 538 m²		 N 80.508095°
W 26.122742°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 56024 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13620 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.427433013916016 y=0.103916168212891 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.427433013916016 × 217)
    floor (0.427433013916016 × 131072)
    floor (56024.5)     		tx = 56024
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103916168212891 × 217)
    floor (0.103916168212891 × 131072)
    floor (13620.5)     		ty = 13620
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 56024 / 13620 ti = "17/56024/13620"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/56024/13620.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 56024 ÷ 217
    56024 ÷ 131072     		x = 0.42742919921875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13620 ÷ 217
    13620 ÷ 131072     		y = 0.103912353515625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.42742919921875 × 2 - 1) × π
    -0.1451416015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.45597579
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103912353515625 × 2 - 1) × π
    0.79217529296875 × 3.1415926535     		Φ = 2.48869208067484
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.45597579} λ = -0.45597579}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48869208067484))-π/2
    2×atan(12.0455112561533)-π/2
    2×1.48796778788622-π/2
    2.97593557577245-1.57079632675     		φ = 1.40513925
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.45597579} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -26.125488°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40513925 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.508549°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 56024 KachelY 13620 -0.45597579 1.40513925 -26.125488 80.508549
    Oben rechts KachelX + 1 56025 KachelY 13620 -0.45592785 1.40513925 -26.122742 80.508549
    Unten links KachelX 56024 KachelY + 1 13621 -0.45597579 1.40513134 -26.125488 80.508095
    Unten rechts KachelX + 1 56025 KachelY + 1 13621 -0.45592785 1.40513134 -26.122742 80.508095
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40513925-1.40513134) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dl = 50.3946099992918m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40513925-1.40513134) × R
    7.90999999988884e-06 × 6371000     		dr = 50.3946099992918m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.40513925) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164900448097236 × 6371000     		do = 50.3648413863967m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.45597579--0.45592785) × cos(1.40513134) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164908249805885 × 6371000     		du = 50.3672242290344m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40513925)-sin(1.40513134))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164900448097236-0.164908249805885)×R²
    abs(-0.45592785--0.45597579)×7.80170864975172e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.80170864975172e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.80170864975172e-06×40589641000000     		ar = 2538.17658054188m²